log₂3は無理数であることを示せ、という問題。log₂3を有理数と仮定して証明するのですが。。

自分の持ってる問題集に

log₂3は無理数であることを示せ。
ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
という問題があるんですけども、この問題の解説が

log₂3を有理数と仮定して

log₂3＝a/b （a,bは互いに素な正の整数）

3＝2^(a/b)

両辺をb乗して

3^b＝2^a より矛盾


log₂3は無理数である (証終)


これってa,bが互いに素にする必要ってないと思うんですけど、どう思われますか？

質問者からの補足コメント

• 

  そこは明らかかなと思って多少省略しました、すみません。左辺は奇数で右辺は偶数みたいな感じです。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/09/22 01:44

No.6 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/22 14:31

a,bが互いに素にする必要はないです。

方針はオーソドックスだけど、細部の書き方がかなり雑ですね。
No.3 に言われているように、そこで何がどう矛盾したのかが
証明のキモですから、そこを書かなければ証明になりません。
言い廻しはいろいろありえますが、要するに 3^b＝2^a の両辺の
素因数分解が一致しないことへ持ち込むことになるでしょう。

その際、a, b の符号を特定しておかないと、
(2^なんとか) と (3^かんとか) の両辺への振り分け方が決まりません。
素因数分解や整除を考えるために、指数を正にして
両辺を自然数にしておく必要があるからです。
このため、log₂3=a/b と仮定するときに
単に有理数が整数の商で表せることを利用するだけでは不十分です。
有理数は一般に、整数 a と正の整数 b の商で a/b と書けますが、
ここでは更に、正の有理数が正の整数 a,b の商で書けることを使う
必要があります。そのため、log₂3>0 にも触れておかなければなりません。

＞ log₂3を有理数と仮定して
＞ log₂3＝a/b （a,bは互いに素な正の整数）
の替りに、
log₂3を有理数と仮定すると、
3>2 より log₂3>0 だから、log₂3＝a/b (a,bは正の整数) と置ける。
とでも書いておけばいいと思います。

キモ部分の処理は、補足のように 2 や 3 での整除性に持ちこんでもいいし、
3^b＝2^a 両辺の素因数分解の一意性から a=b=0 となって
(a,bは正の整数) と置いたことに矛盾する でもいいかな。

この回答へのお礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます！

お礼日時：2019/12/15 15:50

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2019/09/22 09:09

log₂3＝a/b （a,bは異なる正の整数）でいいな。

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/09/22 05:24

互いに素にする必要は無いでしょう。

a,bは自然数だから
3ᴮは素因数が3のみ
2ªは素因数が2のみ

∴数論の基本定理（素因数分解の一意性定理）より
3ᴮ=2ªにはならない。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/09/22 01:12

この証明だとたぶん「互いに素」という条件は不要だと思うけど, それはそれとして

「3^b=2^a より矛盾」
で終わらせるのってどうなんだろう. 何がどう矛盾なのか, もうちょっと丁寧に書いてやるべきだと思うな.

No.2 回答者： tubad 回答日時： 2019/09/22 00:56

みた感じ素にする必要はなさそうだね。

約分したら素になるから気にしてなくてもいいんじゃない？

No.1 回答者： neKo_deux 回答日時： 2019/09/22 00:51

> これってa,bが互いに素にする必要ってないと思うんですけど、

例えば、
b=log(3)2^a
だったら、

> 3^b＝2^a より矛盾

これが矛盾しなくなっちゃうってな事になるとか。