空間に定点A(1,0,0),B(-1,0,0)と 球面x^2+y^2+(z-1)^2=1上の動点P,

空間に定点A(1,0,0),B(-1,0,0)と
球面x^2+y^2+(z-1)^2=1上の動点P,Qがある。4点A,B,P,Qが四面体を作るとき、その体積の最大値を求めよ。

図形問題ができません。どなたか教えて欲しいです

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/09/23 00:42

PQの中点をRとします。

四面体の体積を三角錐ABRPと三角錐ABRQの和として求めます。

2点P、Qが、xz平面(y=0)に対して、同じ側にある場合は、三角錐ABRPと三角錐ABRQの体積を、△ABRを底面として考えたとき、それぞれの高さの和は１以下ですが、2点P、Qが、xz平面(y=0)に対して、反対側にある場合は、それぞれの高さの和は２以下まで長くできます。
△ABRの面積は、2点P、Qが、xz平面(y=0)に対して、同じ側にある場合でも、反対側にある場合でも、同様にできます。
よって、四面体の体積が最大になるのは、2点P、Qがxz平面(y=0)に対して反対側にある場合です。

△ABRの面積が一定(xy平面(ｚは一定)で球を切断した時の円内に点Rがある)とき、△ABRを底面と考えたときの高さの和が一番大きくなるのは、点Rがｚ軸上にあるときで、P、Qの位置にはよりません。
よって、P(0,a,b) , Q(0,-a,b)と置いても問題ありません。

球はxy平面(z=1)に関して対称なので、底面△ABRに対する高さは、点Rがこの平面より上でも下でも同様にできるので、底面△ABRの面積を大きくすることを考えると、明らかにｂ≧１なので、ｂ＝１+ｒ (r>0) とおきます。
r²+a²=1²　より、a=√(1-r²)
三角錐の体積は、
AB×ｂ×1/2×a×1/3=2×(1+r)×1/2×√(1-r²)×1/3=(1+r)√(1-r²)/3=√{(1+r)²(1-r²)}/3

f(r)=(1+r)²(1-r²)　とおいて、微分して増減表を利用して求めると、r=1/2の時、最大になることが分かります。
三角錐の最大値は、√３/4
したがって、四面体の最大値は、√３/2 　です。

この回答へのお礼

ありがとうございます！本当に助かります！

お礼日時：2019/09/23 06:54