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数学の質問お願いします!


xy平面上に2点A(1,0)B(-1,0)をとる。A,Bと異なる点P(x,y)は、角APBが、45°または135°となるように動くものとする。
(1)x^2-1=tとおく。xとyの満たす条件をtとyの式で表せ。
(2)点Pの奇跡を図示せよ。
(3)点Q(4,4)を考える。線分PQの長さの最小値を求めよ。

どうしてもわからないので、お願いします。

gooドクター

A 回答 (1件)

(1)


→AP=(x-1,y) , →BP=(x+1,y)

→AP・→BP=(x-1)(x+1)+y²=x²-1+y²=t+y²……①

→AP・→BP=|→AP||→BP|cos45°
=√{(x-1)²+y²}√{(x+1)²+y²}/√2
=√{(x-1)²+y²}{(x+1)²+y²}/√2
=√{(x-1)²(x+1)²+(x-1)²y²+(x+1)²y²+y⁴}/√2
=√{(x²-1)²+2x²y²+2y²+y⁴}/√2
=√{t²+2y²(t+1)+2y²+y⁴}/√2
=√(t²+2y²t+y⁴+4y²)/√2……②

①、②より、
t+y²=√(t²+2y²t+y⁴+4y²)/√2
2(t+y²)²=t²+2y²t+y⁴+4y²
2t²+4y²t+2y⁴=t²+2y²t+y⁴+4y²
t²+2y²t+y⁴-4y²=0……③

(2)
③より、
(t+y²)²=4y²
(x²-1+y²)²=4y²
x²-1+y²=±2y

x²-1+y²=2y のとき、
x²+(y-1)²=2
軌跡は、中心(0,1) , 半径√2の円 (ただし、2点A、Bを除く)……⑤

x²-1+y²=-2y のとき、
x²+(y+1)²=2
軌跡は、中心(0,-1) , 半径√2の円 (ただし、2点A、Bを除く)……⑥

∠APB=135°の時も同様。

⑤において、y>0のとき、∠APB=45°、y<0のとき、∠APB=135°
⑥において、y>0のとき、∠APB=135°、y<0のとき、∠APB=45°

(3) ⑤の円の中心をC、⑥の円の中心をDとすると、

⑤のとき、PQの長さが最小になるのは、点PがCQと円Cの交点の時、PQ=5-√2
⑥のとき、PQの長さが最小になるのは、点PがDQと円Dの交点の時、PQ=√41-√2
したがって、PQの長さの最小値は、PQ=5-√2
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