これがどうしても解けません。 御願いします…（スクショの関係で上下同じ問題なのでそこはお気になさらず

これがどうしても解けません。

御願いします…（スクショの関係で上下同じ問題なのでそこはお気になさらず…）

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/24 19:26

No.4 のやり方で、No.2 のうち k=0 の場合が求まっている。

a,b,c,t が No.2 の u,v,y,x にそのまま対応している。
値が 3 個しか出てこなかったのは、積 ab を 109/3 に限定してしまったから。
No.2 のひとつめの段落に書いたような事情で、ab は値がみっつある。
A, B が実数なら、A^(1/3), B^(1/3) の値を実数に限って考えることもできるが、
今回は 210 ± (323/9)(√3)i が虚数なので、その 3 乗根は
それぞれ 3 個づつの複素数を表していると考えざるをえない。
積 AB が実数だからといって
ab = { A^(1/3) }{ B^(1/3) } = (AB)^(1/3) の値を実数に限定するのは間違い。

No.4 回答者： springside 回答日時： 2019/09/23 21:21

きちんと立式してやろうとすると3通りの解が出てくるけど、どれを選ぶのかの判定ができない。

与式の第1項をa、第2項をbとおくと、

a³+b³ = {210+(323/9)√3i}+{210+(323/9)√3i} = 420
ab = [210²-{(323/9)√3i}²]^(1/3) = (1295029/27)^(1/3) = 109/3

であり、a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²) = (a+b){(a+b)²-3ab}なので、a+b=cとおくと、

420=c(c²-109)となり、整理するとc³-109c-420=0となる。

求めるべき値はa+b+5=c+5であり、これをtとおくと、c=t-5だから、

(t-5)³-109(t-5)-420=0となり、これを展開整理して、t(t-17)(t+2)=0
よって、t=-2、0、17

No.3 回答者： springside 回答日時： 2019/09/23 18:46

No.1です。

こういう（発見的な）やり方です。

「3乗根」と「210」から6³=216が思い付き、3乗根の中にある√3iを絡めて、

(6+x√3i)³=210+(323/9)√3i

となるxがあればいいと発想します。

左辺を展開すると、実部は216-54x²なので、右辺の実部210と等しいとおいて、
x=±(1/3)が求まります。

で、結局、{6+(√3/3)i}³=210+(323/9)√3i、{6-(√3/3)i}³=210-(323/9)√3iで
あることが判るので、

与式={6+(√3/3)i} + {6-(√3/3)i} + 5=17となります。

ただ、数学的には、{6+(√3/3)i}³=210+(323/9)√3i、{6-(√3/3)i}³=210-(323/9)√3i
を示してやれば（ただ3乗を展開するだけ）満点ですが。
（なぜ、左辺を思い付いたのかという思考過程を書く必要はない）

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/09/24 02:11

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/23 18:39

3乗根の中身が虚数だから、この3乗根は複素3乗根であって、

3個の複素数値のうちどれをとるのかは式に明示されていない。
そうすると、式の値は 3×3 = 9 個あることになる。
その全てを求めろという問題なのかなあ...

問題の式は、パッと見て、3次方程式の解公式に形が似ている。
そこで、カルダノの解法を逆にたどることを考えて、
u = { 210 + (323/9)(√3)i }^(1/3),　　←[1]
v = { 210 - (323/9)(√3)i }^(1/3),　　←[2]
y = u + v,　　　　←[3]
x = y + 5.　　　　←[4]
と置いてみよう。　

[3]は、 y^3 = (u+v)^3 = (u^3+v^3) + 3uv(u+v).　　←[3’]
と変形できる。ここが、カルダノ方式。

[1][2]より u^3,v^3 = 210 ± (323/9)(√3)i.
この式も、見慣れたような形をしている。
今度は2次方程式の解公式に似ている。
そこで、t = u^3,v^3 を解に持つ2次方程式を作ってみると、
(t - 210)^2 = -3(323/9)^2, 展開整理して
t^2 - 420 t + 1295029/27 = 0　となる。
2次方程式の解と係数の関係から、
u^3 + v^3 = 420,　　　　　　←[5]
(u^3)(v^3) = 1295029/27.　　←[6]

[6]両辺の3乗根をとれば、
uv = (109/3)ω^k, ω = {-1+(√3)i}/2, k = 0,1,2　　←[6’]
[5][6’]を[3’]へ代入すると、
y^3 =　420 + 109(ω^k)y となる。
z = (ω^k)y　と置けば、　　　　　←[7]
z^3 - 109z - 420 = 0 である。　　←[8]

[8]の解 z がもし有理数であれば 420 の約数になるから、
420 の素因数分解から解を探すと、z = -5 が見つかって
z = -5, -7, 12 と解ける。ここには、勘と根性が要る。

[7][4]を使って解を x に戻せば、
x = 5 - 5ω^k,　5 - 7ω^k,　5 + 12ω^k.
ただし ω = {-1+(√3)i}/2,　k = 0,1,2.
と解ける。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2019/09/23 17:02

答は17だけど、論理的に完璧に示せない...。