高校数学の公式の導出

放物線y=x^2+bx+cと直線y=px+qの共有点の座標をα、βとして（α＜β）、これらに囲まれた図形の面積Sは
S=|a|/6(β-α)^3
として求める公式があります。
この公式はどのようにして導出されるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/09/24 18:24

y=x²+bx+c と y=px+q より、

x²+bx+c =px+q
(x²+bx+c) -(px+q)=0……①

この方程式の解がα、βということになりますから①は、
(x-α)(x-β)=0　となります。

S=∫(x:α→β) {(px+q)-(x²+bx+c)}dx
=-∫(x:α→β) {(x²+bx+c)-(px+q)}dx
=-∫(x:α→β) (x-α)(x-β) dx
=-∫(x:α→β) (x-α){(x-α)+(α-β)}dx
=-∫(x:α→β) {(x-α)²+(α-β)(x-α)}dx
=-[(x-α)³/3+(α-β)(x-α)²/2] (x:α→β)
=-{(β-α)³/3-(β-α)³/2}
=-{-(β-α)³/6}
=(β-α)³/6

今回は、放物線のx²の係数が１だったので、a=1 の場合です。