△OABにおいて辺OAを2:3に内分する点をC、辺OBを1:3に内分する点をD、辺ABの中点をEとし

△OABにおいて辺OAを2:3に内分する点をC、辺OBを1:3に内分する点をD、辺ABの中点をEとし、線分BCと線分EDの交点をPとする。OA→=a→ , OB→=b→
とするとき、OP→をa→ , b→ を用いて表せ。

この問題の解き方がわかりません。

自分でやってみたのですが、
CP:PB=1-t:t と置いてやってみましたが、わかりませんでした。
宜しく御願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/28 19:38

→OC = {2/(2+3)}(→OA) = (2/5)(→a),

→OD = {1/(1+3)}(→OB) = (1/4)(→b),
→OE = (→OA + →OB)/2 = (1/2)(→a) + (1/2)(→b).
であることは判りましたか？

CP : PB = 1-t : t と置くと同時に
EP : PD = 1-u : u と置けば、
→OP = t(→OC) + (1-t)(→OB) = (2/5)t(→a) + (1-t)(→b),
→OP = u(→OE) + (1-u)(→OD) = u{(1/2)(→a) + (1/2)(→b)} + (1-u){(1/4)(→b)} = (1/2)u(→a) + {(1/4)u +1/4}(→b).

→OP を2通りに表した →a, →b の係数を比較して、
(2/5)t = (1/2)u,
(1-t) = (1/4)u + (1/4).
この連立方程式を解けば、
t = 5/8, u = 1/2.

t, u の値を代入して、
→OP = (1/4)(→a) + (3/8)(→b).

2直線の交点をベクトルで扱うには、
両直線をパラメータ表示して交点の係数を比較し
連立方程式へ持ち込む。
型どおりの基本手技です。

No.2 回答者： Dr-Field 回答日時： 2019/09/28 19:40

方法論として、OP→を２つのルートで表してみる。

つまり、OP→＝OD→＋DP→とOP→＝OC→＋CP→

まず、OP→＝OD→＋DP→について詳しく見てみる。
DP：DE＝s：1－sとおく。
OD→＝(1/4)OB→、DP→＝s･DE→＝s(OE→－OD→)＝s･(1/2)･(OA→＋OB→)－s(1/4)OB→
だから、OP→＝(1/4)OB→＋s･(1/2)･(OA→＋OB→)－s(1/4)OB→
＝(s/2)･OA→＋{(1/4)＋(s/2)－(s/4)}･OB→
＝(s/2)･OA→＋{(1/4)＋(s/4)}･OB→

一方、OP→＝OC→＋CP→について詳しく見てみる。
CP：PB＝t：1-tとおく。
OC→＝(2/5)OA→、CP→＝t･CB→＝t･(OB→－OC→)＝t{OB→－(2/5)･OA→}＝t･OB→－(2/5)･t･OA→
だから、OP→＝OC→＋CP→＝(2/5)OA→＋t･OB→－(2/5)･t･OA→＝{(2/5)－t･(2/5)}OA→＋t･OB→

OA→とOB→は互いに独立のベクトルなので、係数比較をして
s/2＝(2/5)－t･(2/5)
(1/4)＋(s/4)＝t
この連立方程式を解いて、s＝1/2、t＝3/8が求められる。
故に、OP→＝(1/4)･OA→＋(3/8)･OB→ となる。