物理カテゴリと迷ったのですが、
質問の本質は数学であろうというコトでここにしました。



今、電荷qに帯電している物体Aがあります。そのAを点Oに固定します。

点Oからrはなれた点に電荷qに帯電している物体Bをおくと、

そのBが持つ位置エネルギーは、無限遠点を基準に選ぶと、U=(kq^2)/rですよね。

このUを導出したいんです。


点Oからxだけ離れているところにBをおいた場合、

Bが受ける力は、F = (kq^2)/x^2 (クーロン力)。

それで、Bを-Fの力で無限遠点からrだけ離れた点まで持ってきてやれば、

その-Fがした仕事の総和がUになるんですよね。

ここまではいいんです。以下が質問の本題です。


-FによってΔxだけ動かしたときに、この力がした仕事は-FΔx。

だから、

U = ∫(-F)dx(∞からrまで) = ∫{-(kq^2)/x^2}dx(∞からrまで) = (kq^2)/r

となる、と参考書に書いてあるわけですが、、、これはナゼ二ですか?

-FΔxを∞からrまで集めてきた、としてなんとなく理解するのは簡単ですが、

厳密に教えてください。

あとあと、

Δxがdxになったとみていいんでしょうか?

∫(  )dxってただの記号じゃなかったの、、、?

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A 回答 (9件)

dw/dx=-F(x)をxで積分するわけですが、これはまず微分方程式を解くように不定積分から考えた方がいいですね。



∫(dw/dx)dx=-∫F(x)dx
⇔∫dw=-∫F(x)dx
⇒W=Kq^2/x+C (Cは積分定数)
⇒x→∞のときW=0なので C=0
よって
W=Kq^2/x
rをxに代入してやれば、位置rのときの位置エネルギーが求まる。
終わり

この回答への補足

※お礼の後に書きました.


それにしても、∫(dW/dx)dx = ∫dW というのは不思議ですよね.
形式的に書いたdxで(dw/dx)のdxが約分されてしまうなんて…

∫(  )dx ていう形式的なもののハズのdxがこういう風に扱われることが
往々にしてあるので、なんか混乱してしまうんです.


これって、∫(dW/dx)dx = ∫W'dx = W (+C) , ∫dW = W + C

計算を実際にやってみたら結果がおなじだった、と解釈するしか
ないんでしょうか?なんか、もっと意味的な解釈の仕方があるように
思えてならないんですが、、、

まあ、、たぶん今説明してもらっても解らないでしょうから、
今回はこの辺であきらめます。

それでは、ありがとうございました。

補足日時:2001/08/04 19:38
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この回答へのお礼

またまたありがとうございました。

newtypeさんのアドバイスをもとに、今度はW-xグラフを書いて考えてみた
ところ、また一つ理解が深まりました.

お礼日時:2001/08/04 19:20

補足の回答です。


>-FΔxのΔxをdxにすりかえて、その頭に∫をつけて、
>そのままなし崩し的に∞からrまで積分するとちゃんと答えが
>でてくるのですが、これはなぜなのでしょう?

積分記号∫はSum(和)のSを伸ばしたもので、Leibniz(ライプニッツ)が始めて使ったようです。
このことからも、推測されますように、積分は和を表しています。

曲線y=f(x)と、x=aからx=bと、x軸で囲まれる面積を求めることを考えてみましょう。(この説明はどの微積分の本にも書いてありますので、それらの本を読んで下さい。)

その区間の一つの長方形の面積はΔS=f(x)Δxとなります。これをx=aからx=bまでのSumをとればよいでしょうから、
S=limf(x)Δx (Δx→0;Δx≠0)
この極限の値を
S=∫f(x)dx (x=aからx=b)
と書きます。
ここら辺の説明に解析学の本でさえ4,5ページは書いてあります。短い文章では説明尽くせません。悪しからず!

結果的にはあなたが言われるように、Δxをdxにすりかえた形になっていますが、あくまで、極限を取った結果です。

PS:newtypeさんへ、私もよく勘違いをします。お互い様です。これからもみなさんのために回答して下さい。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

>結果的にはあなたが言われるように、Δxをdxにすりかえた形になっていますが、
>あくまで、極限を取った結果です。

あまり深く考えないで、ただの結果と解釈してOKということですね。

そういう考え方の立場からもう一回考えてみました。
すると、どうやらはじめから∞を考えていたのがよくなかったみたいですね。

はじめは、Rからrの積分を考え、(そうしたら、普通に面積を求めるときと
同じようにできました。) その後、R→∞としたらうまくいきました。

なんだかまだモヤモヤがカンペキにとれたというわけでもないんですが、
きっとこれは、時間(経験)でしか解決できないんでしょうね。(天才以外。あるいは
凡人のぼくだけか、、、) そんな気がします。

そんなこんなで、つきあって頂いてどうもありがとうございました。

……ねむいので、明日(8/3※今日とも言う)締め切りさせてもらいます。

お礼日時:2001/08/04 01:07

blogieさんへ


私は結果だけ見て判断してしまいました。気を悪くしないで下さい。

det_mul2さんへ
区分求積法を習えば、Σ→∫、f(xk)→f(x)、Δx→dxと対応しているのがわかります。
detmul2さんは高校の数(3)や数Cを習いましたか?
もしまだ習ってないなら、深く考えても時間の無駄なのでわかったつもりになって
使いつづけましょう。いつかわかる日がきます。ところで私の解答ではわからなかったでしょうか。
一応 ΔW≒-F(x)Δx→∫dW=-∫F(x)dx
と数(3)の知識で証明していると思うのですが。
これを形式的にみると、ΔW→dW、Δx→dxとして∫をつけただけですね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

もう一回最初から考えてみました。
すると、どうやらはじめから∞を考えていたのがよくなかったみたいですね。

はじめは、Rからrの積分を考え、(そうしたら、普通に面積を求めるときと
同じようにできました。) その後、R→∞としたらうまくいきました。

なんだかまだモヤモヤがカンペキにとれたというわけでもないんですが、
きっとこれは、時間(経験)でしか解決できないんでしょうね。(天才以外。あるいは
凡人のぼくだけか、、、) そんな気がします。

そんなこんなで、つきあって頂いてどうもありがとうございました。

……ねむいので、明日(8/3※今日とも言う)締め切りさせてもらいます。

P.S.数(3)はすでに習い済みですが、高校の頃は計算法だけマスターして、
  あとは問題を解くだけ、といったことしかしていなかったので、
  理解はうすっぺらでした。で、今、このままじゃマズイ、というコトで、
  理解を深めようかな~と思ってぼちぼちやってるところ、
  というワケなんですが…

お礼日時:2001/08/04 01:18

No.5のnewtypeさんのご指摘ですが・・・



>(N*m^2/C^2)*C*1/m=N*m/Cとなり、・・・

1と書いてあるのは+1クーロンですからCになります。したがって、N*mになります。

では。
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blogieさんの回答はどこかちがいます。


なぜならば、kq/rの単位を計算してみると、
(N*m^2/C^2)*C*1/m=N*m/Cとなり、仕事やエネルギーの単位N*m
に反するからです。
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stomachman先生が答えられていますが、小生は電荷の位置エネルギーについて回答します。



カテゴリーは物理学でしょう。
あなたの質問の仕方は「五つ星」です。途中までご自分で解いて、どこが理解できていないのか、ハッキリしてます。皆さんもこのように質問されますと沢山の先生方が回答してくださるでしょう!

位置エネルギーに付いての説明です。

まず、高さhにある物体m(質量もm)がもつ位置エネルギーUは
(1)「その点から基準点まで移動した時、重力がする仕事」
または、
(2)「基準点からその点までに移動させた時に外力がした仕事」
と定義されます。

(1)に従って計算してみましょう、y軸を上方向に取ります。
下向きに重力が働きますから-mg
移動はy2-y1=Δy
Δy移動した時の仕事は 
(-mg)*(Δy)=-mgΔy

ゆえに、
U=∫-mgdy[hから0まで]
=-mgy[hから0まで]
=mgh
となります。

(2)に従って計算してみましょう、外力F=mgも移動も上方向ですから、
U=∫mgdy[0からhまで]
=mgh
です。

静電気による位置エネルギーは、
(3)「単位電荷が基準点まで移動したときに、その静電気力がする仕事」
または、
(4)「単位電荷を基準点から、その点まで移動させた時に、外力がした仕事」
と定義できます。
基準点は理論上は無限遠にとり、実用上は地球にとります。

(3)により計算してみましょう。
電荷qからr点にある単位電荷+1を、その点から、無限遠まで移動したときの単位電荷+1がした仕事Uを求めればよいでしょう。
その電荷に働く力Fは、r方向と同じですから、+です。
F=kq/r^2
移動距離をΔrとすると
ΔU=F*Δr=(kq/r^2)Δr
ゆえに
U=∫(kq/r^2)dr[rから∞]
=-kq/r[rから∞]
=-kq/r[∞]ー(-kq/r)[r]
=kq/r
となります。

(4)により計算してみましょう。
外力Fは座標の取り方(電荷qから外向き)と逆向きですから、
F=-kq/r^2
となります。
ゆえに
U=∫(-kq/r^2)dr[∞からr]
=kq/r[∞からr]
=kq/r[r]ー(-kq/r)[∞]
=kq/r
となります。

小生は、物理学から離れて20年近くになりますから、間違いや勘違いがあると思いますから、その時はご容赦下さい。

田舎に住む一老人より(^^)
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この回答へのお礼

>あなたの質問の仕方は「五つ星」です。途中までご自分で解いて、どこが理解でき
>ていないのか、ハッキリしてます。

すみませんでしたっっっ
ほめられて大変喜んでいたんですが、
も一度よく自分の書いた質問を読んでみたら、本当に聞きたいことが
十分に主張されていませんでした、、、

---補足的なモノ---
-FΔxのΔxをdxにすりかえて、その頭に∫をつけて、
そのままなし崩し的に∞からrまで積分するとちゃんと答えが
でてくるのですが、これはなぜなのでしょう?
この一連の形式的操作の意味的ストーリーを知りたいのです。

今ちょっと見えかけてる気もするんですが、やっぱりワカリマセン。

もしよかったら、すみませんが、またお願いします。

モノワカリ悪くて迷惑かけますが...__

P.S.しかし、、、物理学から離れて20年だというのにここまで
  明確に憶えておられるとは、スゴイですね。
  やはり、本質をキッチリ理解していればめったなことで忘れることなどない、
  ということですかね...

お礼日時:2001/08/03 17:04

< U= ∫(-F)dx(∞からrまで) = ∫{-(kq^2)/x^2}dx(∞からrまで) = (kq^2)/r


となる、と参考書に書いてあるわけですが、、、これはナゼですか?

積分はご存知だけど、あまりお詳しくないという前提で。置換積分は避けて、積分の基本公式で。
U=∫{-(kq^2)/x^2}dx=-kq^2∫(x^(-2))dx

ここで ∫(x^n)dx=(n+1)x^(n+1)・・・xが-1の時を除く
の基本公式を使って

U=[(-kq^2)(-1)(x^(-1))]=[kq^2/x]・・積分範囲省略

ではいけませんか。前後の部分は他の方の解説が詳しいので省略します。
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この回答へのお礼

すみませんでしたっっっ

も一度よく自分の書いた質問を読んでみたら、本当に聞きたいことが
十分に主張されていませんでした。

---補足的なモノ---
-FΔxのΔxをdxにすりかえて、その頭に∫をつけて、
そのままなし崩し的に∞からrまで積分するとちゃんと答えが
でてくるのですが、これはなぜなのでしょう?
この一連の形式的操作の意味的ストーリーを知りたいのです。

今ちょっと見えかけてる気もするんですが、やっぱりワカリマセン。

もしよかったら、すみませんが、またお願いします。

モノワカリ悪くて迷惑かけますが...__

お礼日時:2001/08/03 16:53

まずAとBは同符号なのですから、クーロン力は斥力になりますよね。


つまり、点電荷Bの受ける電気力Fに逆らって無限遠点からrの位置までもってく
くるわけです。したがって加える力は-Fとなります。

F=F(x)=kq^2/x^2とすると、位置xから位置(x+Δx)まで移動させたときの
仕事ΔWは下記のように近似できる。

ΔW≒-F(x)Δx (これより-F(x)のグラフとx軸で囲まれる面積は仕事を
あらわすことがわかるね。)

両辺をΔxで割って
ΔW/Δx≒-F(x)
よってΔx→0とすれば
dW/dx=-F(x)となるよね。

これをxで∞からrまで積分してやれば、置換積分法の公式により

∫dw=-∫F(x)dx (積分範囲はあると思ってください)
よってこれを計算して
W=(kq^2)/rとなります。

無限遠点での位置エネルギーは0なので
よって求める位置エネルギーUは0+Wより

U=W=(kq^2)/r
終わり
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この回答へのお礼

すみませんでしたっっっ

も一度よく自分の書いた質問を読んでみたら、本当に聞きたいことが
十分に主張されていませんでした。

---補足的なモノ---
-FΔxのΔxをdxにすりかえて、その頭に∫をつけて、
そのままなし崩し的に∞からrまで積分するとちゃんと答えが
でてくるのですが、これはなぜなのでしょう?
この一連の形式的操作の意味的ストーリーを知りたいのです。

今ちょっと見えかけてる気もするんですが、やっぱりワカリマセン。

もしよかったら、すみませんが、またお願いします。

モノワカリ悪くて迷惑かけますが...__

お礼日時:2001/08/03 16:51

まさに区分求積法。



> ∫(  )dxってただの記号じゃなかったの、、、?

微積分の創始者のひとりライプニッツの時代には、たしかにただの記号でした。その意味は、
S(Δx)=Σ(f(nΔx+r) Δx) Σはn=0,1,2,....について取る
という量を考えて、
 lim  S(Δx)
Δx→0
のことを
∫ f(x+r) dx   (xは0~∞)
と書くってことです。これは
∫ f(x) dx   (xはr~∞)
と同じ。

物理数学では
 lim  Δx
Δx→0
をdxって書いて、
x/n=dx
と考えちゃう。これで旨く行く理由は、じつは「超準解析」という数学の分野で保証されています。超準解析では、dxは普通の数ではなくて、「無限小」という性質をもつ、普通でない数(実数の概念を拡張したもの)、nは普通の自然数ではなくて、無限大という性質をもつ、普通でない数(整数の概念を拡張したもの)として扱われます。
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この回答へのお礼

アドバイスありがとうございました。

-FΔxのΔxをdxにすりかえて、その頭に∫をつけて、
そのままなし崩し的に∞からrまで積分するとちゃんと答えが
でてくるのですが、これはなぜなのでしょう?
この一連の形式的操作の意味的ストーリーを知りたいのです。

stomachmanさんのアドバイスのおかげで少し見えそうな気もしてるんですが、
やっぱりまだハッキリしません。

もしよかったら、すみませんが、またお願いします。

モノワカリ悪くて迷惑かけます...__

お礼日時:2001/08/03 16:45

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球の体積を求める時の積分範囲が
r方向が0からr
θ方向が0からπ
φ方向が0から2π
になる理由が分かりません。

なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。
それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

Aベストアンサー

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因です。
体積V(必ず正)を求める時は、体積要素dV=dxdydzも正でなければ
ダメです。
dV=dxdydz=(r^2)sinθdrdθdφ>0
がπ≦θ≦2πで成り立たないことに気がつかないといけないですね。
体積Vが微小な正の積分要素dVを体積Vの領域全体にわたって足し合わせたものです。負の積分要素が現れるのは体積Vが正しく積分の式で表せていないことを意味します。これは最も基本的な体積積分の概念です。
積分範囲を機械的に置き換えることは問題なくても、積分要素dVが負にならないということに反するような積分の式はおかしいと考えないといけないですね。つまり、積分要素dV(すなわち被積分関数)が正しく表せていないことに気がつかないといけないですね。

以下を熟読してあなたの疑問を解決してください。

球座標(3次元での極座標の1つ)で計算しているのだからANo1で述べた通り、
定石通り計算すれば
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦R^2(R≧0)} dxdydz
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
となります。
参考URLをご覧になって下さい。
Jはヤコビ行列、|J|は正確にがヤコビ行列の行列式det(J)の絶対値になります。

ヤコビアン|J|は球座標では
det(J)=(r^2)sinθなので
|J|=(r^2)|sinθ| ...(※)
となります。
積分範囲0≦θ≦πではsinθ≧0なので |J|=(r^2)sinθ
となります。
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} (r^2)sinθdrdθdφ...(☆)

この積分を積分範囲{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}で積分しても構いませんがこの時は(※)に戻って
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
0≦θ≦2πではsinθが正負の値をとるので
|sinθ|=sinθ(0≦θ≦πの時)、|sinθ|=-sinθ(0≦θ≦2π)
となるので
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ...(◆)
で球の体積を計算しないといけないということです。

体積要素dVで言えば
dV=dxdydz=|J|drdθdφ=(r^2)|sinθ|drdθdφ
となります。これを球の体積の場合、球の内部を重複しない積分範囲で積分すれば良いというわけです。
積分範囲は
(A){0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π}
(B){0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}
(A),(B)いずれでも構いませんが
被積分関数のsinθに絶対値がついていることに
注意しないといけません。

(※)のヤコビアン|J|=(r^2)|sinθ|は
0≦θ≦πでは|J|=r^2sinθ
π≦θ≦2πでは|J|=-r^2sinθ
となるので
(A)の場合の体積Vの積分は(☆)の式になりますが、
(B)の場合の体積の積分は(◆)の式になって|sinθ|の絶対値を外せば
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ
+∫∫∫{0≦r≦R,π≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)(-sinθ)drdθdφ
=2∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ

この積分計算を質問者さんは,|sinθ|の変わりにsinθとしてしまったことにより

V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2) sinθdrdθdφ
=0
という球の体積がゼロ?となると誤った結果が出るのです。

質問の疑問はとけましたか?

これは以下の面積Sの積分計算に類似した誤りに通ずるものがあります。
重要なので繰り返しますが
体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

y=sinθとx軸(θ軸)で囲まれた範囲[0~2π}面積Sを求めるとき、機械的に積分すれば S=∫[0→2π} sinθdθ=0
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S=∫[0→π} sinθdθ+∫[π→2π} (0-sinθ)dθ
=∫[0→2π} |sinθ|dθ=2∫[0→π} sinθdθ=4
のようにsinθの絶対値をとれば正しい面積Sが求まります。

参考URL:http://wasan.hatenablog.com/entry/20110319/1300568061

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
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「c=10^-10でfは全ての実数で連続でx>0で正値をとる時,
∫[c..∞]f(x)dxが収束するならばlim[x→∞]f(x)=0」
の真偽判定問題です。

偽となる反例として
f(x)が底辺が1/n^2の二等辺三角形の側辺を辿るような
ジグザクの折れ線のグラフ(この時lim[x→∞]f(x)は振動)なら
全二等辺三角形の総和はΣ[n=1..∞]1/2n^2で収束と思ったのですがこれはx>0で正値をとる事に
反してしまいます。
やはり,この命題は真となるのでしょうか?

Aベストアンサー

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参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3653990.html

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【実質的に定積分を使って求積しないと
試験時間内に正解できないような問題】という意味です)

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3Cに入るのか、2Bに入るのかわかりにくいのです
建前上は3Cということになっているようなのですが
青チャート2Bですら「発展」という扱いで、定積分を用いた体積を求める手法を
紹介しているのです

Aベストアンサー

京都大学2002年後期文系数学の最後の問題がそれですね。
##1つ前の課程ですが、積分についての扱いは変わってないはずなので。

Q∫xe^xsin(x)dx=x(∫xe^xsin(x)dx)-∫1(∫

∫xe^xsin(x)dx=x(∫xe^xsin(x)dx)-∫1(∫xe^xsin(x)dx)dx

この式変形がわからないのですが。ご教授ください。

Aベストアンサー

>もともとは「∫xe^xsin(x)dxの不定積分を求めよ」という問題で

部分積分法の応用です。

(xe^xsin(x))’=e^xsin(x)+xe^xsin(x)+xe^xcos(x)
より、
xe^xsin(x)=∫e^xsin(x)dx+∫xe^xsin(x)dx+∫xe^xcos(x)dx
同様に、
xe^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx+∫xe^xcos(x)dx-∫xe^xsin(x)dx

2式の差をとると、
xe^xsin(x)-xe^xcos(x)=∫e^xsin(x)dx-∫e^xcos(x)dx+2∫xe^xsin(x)dx
より、
∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx)/2

あとは、∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dxが分かればいいですね。

上記と同じ方法で、
(e^xcos(x))’=e^xcos(x)-e^xsin(x)
より、
e^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx
なので、
∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+e^xcos(x))/2

(積分定数は省略しています)

>もともとは「∫xe^xsin(x)dxの不定積分を求めよ」という問題で

部分積分法の応用です。

(xe^xsin(x))’=e^xsin(x)+xe^xsin(x)+xe^xcos(x)
より、
xe^xsin(x)=∫e^xsin(x)dx+∫xe^xsin(x)dx+∫xe^xcos(x)dx
同様に、
xe^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx+∫xe^xcos(x)dx-∫xe^xsin(x)dx

2式の差をとると、
xe^xsin(x)-xe^xcos(x)=∫e^xsin(x)dx-∫e^xcos(x)dx+2∫xe^xsin(x)dx
より、
∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx)/2

あとは、∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dxが分かればいいですね。

上記と同じ方...続きを読む

Q電束密度Dと体積電荷密度σ間の関係を微分形、積分形であらわすとどのよう

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divD=ρこそが質問者さまが欲している関係式なのでは?
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この式を体積積分して、Gaussの定理を用いて積分形を得ます。

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Q重積分の体積

重積分の体積の問題で分からないものがあります。
どなたか解説頼みます(__

(1)Z=2-x^2-(y/2)^2とxy平面で囲まれる立体の体積を求めよ。
(2)2曲面Z=x^2+y^2-1とZ=-2x^2-2y^2で囲まれる立体の体積
(3)球x^2+y^2+z^≦a^2と円柱x^2+y^2≦axの共通部分。ただしa>0。

(1)まず与えられた式を立体に図示できないのですが、それぞれどんな形の式になるのでしょうか?
(2)図示できなので範囲もわからないです^^;

それさえできればあとは積分するだけですよね?

(1),(2)の疑問を解説して下さい(__

Aベストアンサー

#1,#2です。

(1)
(1)も立体の図を作りましたので添付します。

A#1で書いた積分はできましたか?

当方の計算では「V=4π」と出ています。

(2)
当方の計算では「V=π/6」と出ています。

Q「∫[1/10^10 to ∞]f(x)dxが収束ならばlim[x→∞]f(x)=0」の反例は?

こんにちは。

実数関数f:R→Rは連続でx>0でf(x)>0である。
「∫[1/10^10 to ∞]f(x)dxが収束ならばlim[x→∞]f(x)=0」
は偽だと思います。
できるだけシンプルな反例が思い付きません。
どのようなものが挙げられますでしょうか?

Aベストアンサー

反例が存在しないことをたぶん証明できると思います。以下適当な証明。

lim[x→∞]f(x)が0に収束しなかったとして、たとえばA>0に収束したとして、積分値は存在するでしょうか?

無限大の極限で収束するのですから、正の微小量ε<Aに対して適当なdを選べば、d<xなるxに対して|f(x)-A|<εです。ここで積分区間を[0,d]と[d,∞]のふたつに分ければ、

∫[0,∞]f(x)dx = ∫[0,d]f(x)dx+∫[d,∞]f(x)dx

となりますが、d<xで|f(x)-A|<εだから、区間[d,∞]においてはA-ε<f(x)<A+ε。ゆえに

∫[d,∞]f(x)dx > (A-ε)∫[d,∞]dx = (A-ε)(∞-d) = ∞

よって積分は収束しません。lim[x→∞]f(x)が∞になる場合も同様に示せると思います。

Q2重積分を使った球の体積の求め方

漠然とした質問なんですが、球の体積を2重積分を用いて求めるのはどうしたらいいですか?
どなたか詳しい方教えてください。

Aベストアンサー

原点を中心とする半径 R の球を考えることにします
xy 平面上の点 (x,y) のところでは球面までの高さが
(1)  z = √(R^2 - x^2 - y^2)
ですから,
微小体積 z dx dy を 領域 0≦ x^2 + y^2 ≦ R^2
について積分すればいいでしょう.

Qlim[n→∞]∫[0~1]f_n(x)dx=∫[0~1]f(x)dxが示せません

宜しくお願いいたしました。

[問]各n∈Nに対し,f_n(x)=nx/(1+nx),x∈[0,1]とする。
数列{f_n}は[0,1]で積分可能関数fには各点収束するが一様収束しない事を示せ。
そしてlim[n→∞]∫[0~1]f_n(x)dx=∫[0~1]f(x)dxとなる事を示せ。

で「lim[n→∞]∫[0~1]f_n(x)dx=∫[0~1]f(x)dxとなる」が示せずに困っています。

f(x)=
1/e (x=1の時)
1 (0<x<1の時)
0 (x=0の時)

と積分可能関数fが求めました。

でも
0<x<1の時
lim[n→∞]∫[0~1](f(x)-f_n(x))
=lim[n→∞]∫[0~1](1-nx/(1+nx))dx
=lim[n→∞]∫[0~1](1/(1+nx))dx
=lim[n→∞][-n/(1+nx)^2]^1_0
=lim[n→∞](-n/(1+n^2)+n)

となり0になりません。何か勘違いしておりますでしょうか?

Aベストアンサー

> lim[n→∞]∫[0~1](f(x)-f_n(x))
> ・・・
> =lim[n→∞]∫[0~1](1/(1+nx))dx
> =lim[n→∞][-n/(1+nx)^2]^1_0

∫[0~1](1/(1+nx))dx = [-n/(1+nx)^2]^1_0 ですか?勘違いでしょう。
(1/n) log(1+nx)


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