数学A 赤玉4個、白玉3個、青玉1個がある。この中から4個を取って作る組み合わせおよび順列の総数を求

数学A
赤玉4個、白玉3個、青玉1個がある。この中から4個を取って作る組み合わせおよび順列の総数を求めよ。
組み合わせの総数は求めることが出来たのですが、順列の総数が分かりません。写真では!をつかつた公式で求めてますが学校の先生がnCrを使っていたのでそっちで説明して頂けると幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/10/05 16:39

4個の玉の色の組み合わせにより順列の数は異なりますので、それぞれの場合について順列の数を求めます。

①赤玉4個のとき、1(通り)

②赤玉3個、白玉1個のとき、白玉1個の入る場所を4か所の中から1つ選べば順列が決まりますので、
₄C₁＝４(通り)

③赤玉3個、青玉1個のとき、青玉1個の入る場所を4か所の中から1つ選べば順列が決まりますので、
₄C₁＝４(通り)

④白玉3個、赤玉1個のとき、赤玉1個の入る場所を4か所の中から1つ選べば順列が決まりますので、
₄C₁＝４(通り)

⑤白玉3個、青玉1個のとき、青玉1個の入る場所を4か所の中から1つ選べば順列が決まりますので、
₄C₁＝４(通り)

⑤赤玉２個、白玉２個のとき、白玉２個の入る場所を4か所の中から２つ選べば順列が決まりますので、₄C₂＝６(通り)

⑥赤玉２個、白玉1個、青玉1個のとき、白玉1個の入る場所を4か所の中から1つ選び、青玉1個の入る場所を残りの3か所の中から1つ選べば順列が決まりますので、₄C₁×₃C₁＝12(通り)

⑦白玉２個、赤玉1個、青玉1個のとき、赤玉1個の入る場所を4か所の中から1つ選び、青玉1個の入る場所を残りの3か所の中から1つ選べば順列が決まりますので、₄C₁×₃C₁＝12(通り)

したがって、順列の総数は、1+4×4+6+12×２=47(通り)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
4か所の中から1つ選びというのはどういう意味ですか？
再度質問ですみません。

お礼日時：2019/10/05 19:24

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/10/05 20:03

No.1です。

4個の玉を並べます。横1列に並べるとします。
1番左、左から2番目、左から3番目、1番右。
この4か所の中から、例えば白玉1個の入る場所を１つ選ぶということです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
これで完璧に理解出来ました。

お礼日時：2019/10/05 20:52

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/05 19:46

組み合わせの総数のほうが難しいのに、そっちは解ったんですか...

順列の総数は、階乗を使ったやり方で求めれば、極めて簡単ですよ。
赤玉と白玉に番号を書き込んで、
赤玉1, 赤玉2, 赤玉3, 赤玉4, 白玉1, 白玉2, 白玉3, 青玉 の計 8個とする。
この 8個を一列に並べる順列 8! 通りのうち、
赤玉 4個を同一視することで、赤玉だけを並べ替える 4! 通りづつが 1 通りと数えられるようになり、
更に、白玉 3個を同一視することで、白玉だけを並べ替える 3! 通りづつが 1 通りと数えられるようになる。
よって、赤玉4個、白玉3個、青玉1個を並べる順列の総数は 8! ÷ 4! ÷ 3! 通り。
この計算方法は、区別のつかないものが登場する数え上げの基本技術です。
場合分けや樹形図で遊んでいる暇があったら、これをマスターしておいたほうがいいと思います。
その先生は、いったい何が教えたかったんだろう？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
公式は一応教わったのですがnCrの方がよく先生は使うとのことでnCrの方を使っていました。この方法もしっかり覚えておきたいと思います。

お礼日時：2019/10/05 20:52