AIと戦って、あなたの人生のリスク診断 >>

線形代数を勉強している者です。
問題集で、文字だけしか入っていない行列式ってどう解くのか教えてください。教科書には答えしか載っておらず、どうしても分からないんです。
例えば、
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
とか、
a^2+b^2   ca    bc
ca    b^2+c^2   ab
bc     ab    c^2+a^2
などです。
変形しても何をしても、全然すっきりした答にならないんですが、コツとかあったら教えてください。お願いします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

大抵,文字の入った小さな行列式は余因子展開を使うよりも,行(または列)の基本変形で解く方がうまく行く場合が多いと思います.


大きなサイズの行列式で,数学的帰納法を使って解く場合は別ですが.

最初の問題など,色々数値を入れてみれば予想は立てられるはずです.
たとえば,a=b=c=1, a=b,c=d など,試してみませんか.
それで当たりをつけて実際に計算してみるのも手です.

これらは有名な問題なのでいろいろ参考書を調べれば色んな本に載ってるはず.
どうしてもわからなければそういう努力を惜しまないで頑張ってみてください.
大学の図書館に色々本がそろっているでしょう.
    • good
    • 0

最初のものでは、どんな変形をしましたか?


書いてくれませんか?
 きっと書いたとたんに分かると思います。
ここに、その変形を書いてみてください。
    • good
    • 3

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q行列式の計算を、パソコンで変数を変数のままで計算するには?

複雑な行列の計算をパソコン上で行いたいのですが、行列の要素を変数のまま計算してくれるソフトや方法はありませんでしょうか?

ちょっと質問の内容がわかりにくいかもしれませんが、たとえば
A =[cos(a)] B = [sin(b)]
とあった場合

A+B=[cos(a)+sin(b)]
のような解が欲しいのです。

MATLABで計算しようとしたのですが、計算結果が数値でしか得られなかったので困っています。

よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

趣旨が理解しがたいけど、元になる要素を「数値」ではなく「文字列」として入力し、計算式側でも文字式の連結と捉えれば良いだけでしょう。

例えば、
 A1=sin(30), B1=sin(40)
の時に、通常は
 C1=A1+B1
としてしまうので、計算結果が数値化してしまいますが、
 A1='sin(30), B1='sin(40)
と元になる要素の最初に「'(アポストロフィ)」を付けておき、
 C1=A1 & B1
とすれば、C1に「sin(30)sin(40)」と表示されます。

掛け算なのか足し算なのかを表示したければ、
 C1=A1 & " + " & B1
とすれば、C1に「sin(30) + sin(40)」と表示されます。

しかし、複雑な式を表現しようとすると、とっても見づらい上に入力にも手間がかかりすぎるので、あまり向かないと思います。
また、数式と数値の両方を得る方法はありません。

以上。

Q行列式の因数分解がとけません。

どうしてもわからないので最後の答えだけ(途中計算は答えのページに載ってないので。)を参照にしてやってみたのですが。
|a b c|
|a2 b2 c2|
|a3 b3 c3|
を因数分解せよという問題で、私は1列-2列、2列-3列、3列-1列をして、
abc|0 0 0 |
|a-b b-c c-a |
|a2-b2,b2-c2,c2-a2|



=abc(a-b)(b-c)(c-a)|0 0 0 |
|1 1 1 |
|a+b b+c c+a |


として最後に残った行列式をサラスの法則で解けばできる!と思ってサラスをやってみたんですけど0になってしまいました。どうすればとけますか?ただ因数を作っていけばいい、と思ってやっただけじゃダメなんでしょうか?

Aベストアンサー

答えはabc(a-b)(b-c)(c-a)になると思います。

ちょっと自信なしですが、なにがマズイかというと、おそらく「私は1列-2列、2列-3列、3列-1列をして」を「同時に」行ったことが問題かと思われます。
極端な話、2次正方行列の行列式を求める際に、「1列-2列、2列-1列」を「同時に」行うと、すべての2次正方行列の行列式が0となってしまいます。

|{(a b c),(a^2 b^2 c^2),(a^3 b^3 c^3)}|
=abc*|{(1 1 1),(a b c),(a^2 b^2 c^2)}|
=abc*|{(1 0 0),(a b-a c-a),(a^2 b^2-a^2 c^2-a^2)}|
=abc*|{(b-a c-a),(b^2-a^2 c^2-a^2)}|
=abc(b-a)(c-a)*|{(1 1),(b+a c+a)}|
=abc(b-a)(c-a)*{(c+a)-(b+a)}

こんな感じでどうですか?

Q行列の消去法のコツなど教えてください。

只今、学校にて行列を習っているわけですが、最近行列を使った消去法を習い始めました。

たとえば

3  1 -7  0
4 -1 -1  5
1 -1  2  2

このような行列があったとします。
習った方法は、
(1)一つの行に0でない数をかける。
(2)一つの行にある数をかけたものを他の行に加える。
(3)二つの行を交換する。

1  0  0  3
0  1  0  5
0  0  1  2
このような式に変形してx=3,y=5,z=2みたいな感じにするということでしたが、

今回教えていただきたいことは、
→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
→うまく変形するコツ。

の二つです。

やり方自体はなんとなくわかるのですが、単位行列に持っていくまでの手順がイマイチ難しくわからないので、よろしければご教授願います。

2月頭辺りからテストなのでズバリを突いて欲しいと思います。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
何回でも使っていいです。1+1=2と1+1+1-1+1-1+1-1=2が等価なのと同じことと思ってください。

→うまく変形するコツ。
”うまく”はないですけど、初心者向けの解法のコツみたいなものとして、参考までに。
(1)n列目のn行を1にする。
(2)「n列の他の行の数」を、(1)で作った1に-(「n列の他の行の数」)をかけてたして0にする。
(3)単位行列になるまで(1)~(2)を繰り返す。
※nは1~行列の次数(2次正方とか3次正方とかの2,3)です。

Q4次の行列式について

今、行列式を学習しています。
そこで自分の使っている
4次の行列式の解法より
もっと簡単にできる方法がないかと思い、
書き込みさせてもらいました。
一例なのですが、

│5 3 0-3│
│2 1 4-2│
│1 2 1 0│
│0 3 2 1│
  ↓
│1 4-2│ │3 0-3│ │3 0-3│ │3 0-3│
5│2 1 0│-2│2 1 0│+│1 4-2│-0│1 4-2│ = 9
│3 2 1│ │3 2 1│ │3 2 1│ │2 1 0│

と私は解いています。
しかし、あまりにもこのとき方には時間がかかります。
他によい解き方がありましたら、どんどん書き込みお願いします<(_ _)>
(もしもずれていたらすみません(´Д⊂ )

Aベストアンサー

ある行または列を単位ベクトルにする方法があります。御質問の行列式では、第4行を3倍して第1行に加え、2倍して第2行に加えれば、第4列で1が1個だけになって、ラプラス展開によって3次行列式にするのは簡単ですね。
ただ、最初の行列式のラプラス展開よりも速く計算できるかどうかは分かりません(この例ではラプラス展開した3次の行列式に全て0が入っていますので、案外簡単です)。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q行列式の因数分解

|a b c|
|c a b|
|b c a|


行列式を因数分解するそうなのですが、
どうしてもこの問題を因数分解することが出来ません。
もしよかったら途中式つきで因数分解していただけないでしょうか
お手数ですが、よろしくお願いいたいます。

Aベストアンサー

もう遅いかもしれませんが。
一番普通に考えるのは、1行目と2行目を3行目に足すことではないでしょうか。
そうすれば3行目は
(a+b+c,a+b+c,a+b+c)
となり、a+b+cをくくり出せます。残った
|a b c|
|c a b|
|1 1 1|
を普通に計算すればよかろうと思われます。

Q行列式の因数分解

こんばんは。

行列式の因数分解ですが、とけません。
例えば、
1 a^2 a^3
1 b^2 b^3
1 c^2 c^3
とか左側が全部1になっているような奴は解けるのですが、
問題は、
a bc a^2
b ca b^2
c ab c^2

(b+c)^2 ab ca
ab (c+a)^2 bc
ca bc (a+b)^2
のように複雑なやつです。
なにか方針とか説き方のコツとかありますでしょうか?
ぜひ教えていただきたいです。

Aベストアンサー

ぱっと見で対称性がありそうですので、対称式か交代式かどちらかでしょう。

で、例えば、
1 a^2 a^3
1 b^2 b^3
1 c^2 c^3
とか
a bc a^2
b ca b^2
c ab c^2
だったら、a=bとかb=cとかc=aとかにしてみると0になるっていうのが一目でわかるので、因数 (a-b)(b-c)(c-a)を持つっていうのがわかります。そうしたら、(a-b)(b-c)(c-a)を出すように基本変形しましょう。

(b+c)^2 ab ca
ab (c+a)^2 bc
ca bc (a+b)^2
は、交代式ではなさそうなので対称式だと思って因数の候補を探しましょう。a=0とかb=cとかc=0とかしてみると、0になるので、abcを因数に持ちそうです。というわけで、abcを出すように基本変形しましょう。

Qオススメの線形代数の問題演習を教えてください!

よくわかる線形代数と、
やさしく学べる線形代数を独習しました。

次に、問題集に取り組みたいのですが、
オススメの線形代数の問題集を教えてください。

いまのところ、
基本演習 線形代数 (基本演習ライブラリ) - 寺田 文行, 木村 宣昭
にしようかと思っています。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

理学部でしたか。それならば、演習書ではないですが、こちらを
お勧めします。(ご存知かもしれませんが、、)
斉藤正彦さんの名著です。
http://www.amazon.co.jp/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80-%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E6%95%B0%E5%AD%A6-1-%E9%BD%8B%E8%97%A4-%E6%AD%A3%E5%BD%A6/dp/4130620010/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1239847081&sr=8-1
沢山実践的な演習をこなしたいなら、こちらがお勧めです。
こちらは、図書館から借りて使用しました。解説が詳しく、かつ
良問が揃っているので、理解力、応用力がつくと思います。
サイエンス社
http://www.amazon.co.jp/%E6%BC%94%E7%BF%92%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E9%99%A2%E5%85%A5%E8%A9%A6%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%80%88%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%80%89I-%E5%A7%AB%E9%87%8E-%E4%BF%8A%E4%B8%80/dp/4781908373/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1239847242&sr=1-1
東京図書
http://www.amazon.co.jp/%E8%A9%B3%E8%A7%A3-%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E9%99%A2%E3%81%B8%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E2%80%95%E7%90%86%E5%AD%A6%E5%B7%A5%E5%AD%A6%E7%B3%BB%E5%85%A5%E8%A9%A6%E5%95%8F%E9%A1%8C%E9%9B%86-%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E5%9B%B3%E6%9B%B8%E7%B7%A8%E9%9B%86%E9%83%A8/dp/4489003897/ref=sr_1_2?ie=UTF8&s=books&qid=1239847309&sr=1-2
参考までに、

理学部でしたか。それならば、演習書ではないですが、こちらを
お勧めします。(ご存知かもしれませんが、、)
斉藤正彦さんの名著です。
http://www.amazon.co.jp/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80-%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E6%95%B0%E5%AD%A6-1-%E9%BD%8B%E8%97%A4-%E6%AD%A3%E5%BD%A6/dp/4130620010/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1239847081&sr=8-1
沢山実践的な演習をこなしたいなら、こちらがお勧めです。
こちらは、図書館から借りて使用しました。解説が詳しく、かつ
良問が揃...続きを読む

Qタンジェントとアークタンジェントの違い

タンジェントとアークタンジェント、サインとアークサイン、コサインとアークコサインの違いをすごく簡単に教えてください。

Aベストアンサー

タンジェントやサイン、コサインは、角度に対する関数です。
例えば
 tan60°=√3
のような感じで、角度を入力すると、値が出てきます。

逆に、アークタンジェントなどは、数値に対する関数です。
 arctan√3=60°
などのように、数値を入力すると角度が出てきます。

そして、タンジェントとアークタンジェントの関係は、
springsideさんも書いてありますが、逆関数という関係です。
逆関数というのは、原因と結果が逆になるような関数です。
例えば、
  45°→タンジェント→1
  1  →アークタンジェント→45°
のように、「1」と「45°」が逆の位置にありますよね?
こういう関係を、「逆関数」というんです。

どうでしょう、わかりましたか?

Q行列の階数(rank)を求める

実数だとできるんですが文字式の時の良い
やり方が分かりません。途中式も教えてください
一問目は4行4列。2問目は3行3列の正方行列です。

(a+2) 1 2 -1
-5 (a-3) -4 1
-1 0 (a-1) 1
3 1 2 (a-2)


1 a bc
1 b ca
1 c ab

Aベストアンサー

2問目
行列をA,その行列式をdet(A)と書くと、
det(A)=(a-b)(b-c)(c-a)
従って、rank(A)=3のためには、a,b,cが
全て異なる事が必要十分。

次にa,b,cの何れか二つだけが一致する場合、
行列Aの1列目と2列目は一次独立だから、このとき
rank(A)=2
最後にa,b,cが全て等しい場合、
2列目、3列目は1列目と一次従属だから
rank(A)=1

多分、1問目も同じ方針で行けるでしょう。でも、計算量が大きいので辞退します。


人気Q&Aランキング