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画像は数学ガール「ゲーデルの不完全性定理」の1ページです。
ペアノの算術は「ペアノの公理」「加算の公理」「乗算の公理」「不等号の公理」からなると思います。「ペアノの公理」と「加算の公理」で自然数の順序性は出てくると思います。
しかし「順序 not= 大小」ですし、又「ペアノの公理」「加算の公理」「乗算の公理」から定理として「最小値が1である」と導かれるとも思えません。
ここは単純に「不等号の公理」から自然数の最小値は1と考えて宜しいのでしょうか?

よろしくお願いします。

「ペアノの算術と自然数の最小値が1である事」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • どう思う?

    画像を追加添付しましたが、大きく写したい為「ペアノの公理」は含めることはできませんでしたが、
    「加算の公理」と「不等号の公理」が最初うちには関係あるのか?と思いますので、こうなりました。

    よろしくお願いします。

    「ペアノの算術と自然数の最小値が1である事」の補足画像1
    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2019/10/20 11:43
  • どう思う?

    自然数の性質?により最小値が0又は1ということはわかりますが、どの公理系からその結論がでるのか知りたいと思っています。どの公理からこの結論になるのか?です。

    よろしくお願いします。

      補足日時:2019/10/20 11:49
  • ペアノの公理で自然数の順序性(継承性)は定められましたが、順序即大小ではないのでペアノ の公理の単なる延長では大小性は出てこないので、新しい公理が必要だと思っていました。
    不等号(等しくない)からしか大小性は出てこないと思っていました。
    ところがネットを検索しても自然数の大小性を公理から説明しているpageが出てこないので投稿しました。
    理解できました。ありがとうございました。

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2019/10/20 13:32

A 回答 (3件)

不等号の公理の最初の記述から1が最小元ですね。

日本語で説明されているので明らかだと思いますけど。
したがって0はありません。1から始まる自然数の公理系を使っているようですね。
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最小値は不等号の定義によって決まるのですから、何が最小の自然数か、またそれ以前に


自然数に最小値が存在するかどうかも、不等号の公理に由来する以外にありません。
事実、写真の不等号の公理の1本目で、1より小さい自然数は存在しないと書いてあります。
1が自然数の最小値であることは、この公理で決められているのです。

自然数の定義は、1から始める場合と0から始める場合があります。
どちらにするかは、ペアノの公理の1本目で決まります。写真の例では1からを採用しています。
そこを0∈Nに置き換えた公理系もある...というか、そちらのほうがメジャーではあります。
不等号の公理も、加算の公理や乗算の公理も、写真を見ると1本目には1が登場しています。
ペアノの公理の1本目が0∈Nであるような体系では、そこに1の替りに0が登場することになります。

そういうわけで、1が自然数の最小値であることは、正式にはというか形式的には不等号の公理により、
不等号の公理がそのようになっている理由はペアノの公理にあります。心情的にはペアノの公理による
とでもいうべきでしょうか。
この回答への補足あり
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まずページの画像を載せてもらっていますが、縮小されていてほとんど読み取れません。


普通ペアノの公理系を扱う場合は自然数は0を含むことが多いのですが、この本では最初の自然数を1としているのでしょうか。それなら最初の元が最小の元になるでしょう。
まあ0始まりでも1始まりでも公理系はほぼ同じと思いますが、乗算まで考えるならゼロ元があるかどうかで少し変わりますかね。
この回答への補足あり
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