x,y,a,bを正の実数とするとき、不等式 xlog(x/a)+ylog(y/b)>= (x+y)l

x,y,a,bを正の実数とするとき、不等式
xlog(x/a)+ylog(y/b)>= (x+y)log(x+y/a+b)
を示せ。

どうやればいいのでしょうか。教えてほしいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/24 14:18

x log(x/a) + y log(y/b) >= (x+y) log( (x+y)/(a+b) ) ですね？

どれかひとつの変数で微分してしまえば話が早いのではないでしょうか。

f(a) = x log(x/a) + y log(y/b) - (x+y) log( (x+y)/(a+b) ) と置いて、
f(a) の増減を調べましょう。 x,y,b は固定しておきます。

f(a) = x(- log(a)) - (x+y)(- log(a+b)) + (aに関しは定数)
となっていますから、
df(a)/da = -x/a + (x+y)/(a+b) = (ya-xb)/{a(a+b)}.

増減表が
　a　　 　　 　xb/y
　f’(a)　　-　　　0　　　　+
　f(a)　　減少　　最小　　増大
となって、

f(a) ≧ f(xb/y) = x log(x/(xb/y)) + y log(y/b) - (x+y) log( (x+y)/((xb/y)+b) )
= x log(y/b) + y log(y/b) - (x+y) log(y/b)
= 0 です。

この回答へのお礼

本当に本当にありがとうございます！

お礼日時：2019/10/24 14:21