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O(0,0)A(2,0)B(1,2)に対し、OPベクトル=sOAベクトル+tOBベクトルとする。
実数s,tが次の各条件を満たしながら動くとき、点Pの存在範囲を図示せよ。

(1)0≦s≦1、1≦t≦3


この問について、解答をみても分かりません。赤線を引いた部分について質問します。
①(2s,0)とはどういうことですか?y座標が0ではないですよね?
②B´´は何を表しているのですか?どのようにしてPを表しているのですか?
③なぜ、B'B"=2なのですか?

「O(0,0)A(2,0)B(1,2)に対」の質問画像

A 回答 (2件)

①(2s,0)とはどういうことですか?y座標が0ではないですよね?


>ベクトルって図に表わすと「矢印」で示しますよね
↑B'PはB'からPまで伸びる矢印ですが
↑B'P=(2s,0)の意味はこの矢印の向きを数値化したものです
ベクトルの矢印の向きを(x方向、y方向)というように、縦横に分解して表わしているのです
従って↑B'P=(2s,0)は、B’からスタトーとした矢印がx方向に2s、y方向に0の位置まで伸びているという事を意味します(つまりPはB'からx方向に2s、y方向に0の位置にあるということ)
この意味では、y座標=0という事ではなく、ベクトルのy成分が0という事になります

(ただ、今回はs↑OA=(2s,0)でもありますから
s↑OA=↑OA'とおけば
↑OA’=(2s,0)
前述を踏まえ考えると、矢印の始点Oが(0,0)だからA'の座標は(2s,0)
ということで、↑OA’=(2s,0)の条件があることで、今回の0はA'のy座標も示していると言えます
ちなみに、s↑OA=(2s,0)の両辺を1/s倍すれば、↑OA=(2,0)だからAのy座標も0)


②B´´は何を表しているのですか?どのようにしてPを表しているのですか?
>この問題ではOP=sOA+tOBで、変数がs,tの2個あるんですよね
人間、動くものが2つあると上手に考えることが難しいものです
そこで、変数が2つある場合は片方を固定して考えるというのが良く使われるテクニックです
そこで、t=0とかt=1.5とかt=2に固定して、それぞれの場合ごとにsの数値を変化させてみれば、答えの小手調べができます
しかし、そのようなやり方で全てのtの値を想定して、
t=0から
t=0.000・・・001
t=0.000・・・002



などと言うように細かくやっていくのではやり切れません
そこで、tは1から3までの間のいずれかの数値である ということにしておいて
つまりtは「ある数字」だとみなしてあげているのです
tが数字なら文字(変数)はsだけです
このとき、tの具体的数値はいくつか分からないけれど一定の数字ですから、
OB'=tOBよりOB'の矢印はOBの矢印の長さのt倍で
B'の位置は図のようにOBの延長上Dを超えない範囲のいずれかにあることになります
(図はそのような条件を満たすよう、B'を適当な位置に仮置きしたものです)
このとき、OP=OB'+sOAですから
仮にsを1と仮定すれば、OP=OB'+OAです
このs=1とした時のベクトルOPの矢印の作図手順としては、
OB'の矢印とOAの矢印とを書いておいて、これらを元に平行四辺形を書いて
その対角線を結ぶとOPの矢印になる と言うのが中学までで習った作図法だと思います
画像では、この時(tは数字扱いs=1のとき)できた矢印OPのPの位置をB''としているのです
しかし、平行四辺形を書かずとも作図はできます
その方法は、まずOB'+OAの前半部分のOB'の矢印を書く
次に、B'をスタートして後半部分のOAの矢印を書き足す(OAの矢印を平行移動させて、その始点をB'までスライドさせる)
この時に描いた2本目の矢印の先端の位置をB''とすれば
OB'+OA(=OP)の矢印は、OとB''を結んだものとなります
(当然ながら、どちらの作図法を採用してもできる矢印の先端の位置B''は同じになります)
B''はtは数字扱いs=1のときのPの位置ですが、実際はsは1で固定されるものではなく
0から1の間を動きます
2番目の作図の要領で考えれば、s=0.5のときは、PはB’からスタートして
OAと平行で半分の長さの矢印の位置に来ることになりますし、
s=0ならPはB'と一致することになります
ここから分かることは、2番目の作図方法によると、Pはsの変化によって線分B'B''上のいずれかの位置に来るという事です
このように、2番目の作図法が分かりやすいので、Pの存在する右端の限界の位置をs=1のときのB"としているのです


②から2番目の作図法によりB'B"がOAの矢印をスライドさせたものであることが分かったと思います
従って2つの矢印の長さは同じです
OA=2ですから
当然B'B"も2なのです
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→B’P = →OP - →OB’ = (2s, 0) ですから、
P の y座標と B’ の y座標が等しいということです。
x座標の差が 2s です。


B’’ は、s = 1 のときに P が居る位置です。
→OP = →OB’ + →B’P,
→B’P // →OA だから、
P は 点 B’ から ベクトル →OA 方向に進んだ位置に居るのですが、
0 ≦ s ≦ 1 なので、B’ から一番遠くなるのが s = 1 のとき。
そのときの位置を B’’ と命名したのです。


B’’ が s = 1 のときの P の位置なので、①の式から
→B’B’’ = (2・1, 0) です。
B’B’’ = |→B’B’’| = |(2, 0)| = 2 ですね。
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