連続体の冪集合とは

自然数全体Nの冪集合の濃度が連続体濃度に等しいことは、（仮説ではなく）証明済みです。
すなわち、

|2^N| = |R| = ℵ

次に同様の方法の延長にて実数全体Rの冪集合というものを考えると、

|2^(2^N)|=|2^R|

が機械的に生成はされますが、2^R (つまり連続体の冪集合）とはいったい何でしょーか？
そもそも連続体にべき操作は可能なのでしょーか？

No.4 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2019/10/24 22:14

一般に集合Xに対して 2^X は Xの部分集合の全体 からなる集合です。

あるいは、同じことですが、Xから2={0,1}への関数の全体です。
要するに冪集合というのは可算集合とか連続体とかに限られた概念ではなく任意の集合に対して考えられるものです。
冪集合の存在は公理論的集合論では公理で保証されますし、素朴集合論でも部分集合全体からなる集合の存在は普通に認められます。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/24 21:30

＞それは素朴集合論の公理ですか？

素朴集合論の「公理」って、いったい何者やねんな。

＞どのよーな集合に対しても、その冪集合が存在することを保証する公理とは何？

ZFには、「冪集合公理」が含まれている。

No.2 回答者： ibm_111 回答日時： 2019/10/24 21:13

RからR（CからC等でも可）の関数全体は，実数全体Rの冪集合の濃度と等しいです．

ただし，連続関数としてしまうと，Rの濃度程度しか無いです．

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/24 20:54

2^R は、R の部分集合全体がなす集合族であり、

それが集合であることは、集合論の公理で保証されている。
だから、その濃度 |2^R| を考えることは可能でしょー。

|2^R| = 2^ℵ とは何か？ ときかれても、
2^ℵ だとしか言えないけれど。

この回答へのお礼

＞2^R は、R の部分集合全体がなす集合族であり、
それが集合であることは、集合論の公理で保証されている。


それは素朴集合論の公理ですか？
どのよーな集合に対しても、その冪集合が存在することを保証する公理とは何？

お礼日時：2019/10/24 21:13