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aを0<a<3を満たす実数の定数とする。二次関数f(x)=x²-2ax-4a+5の-3≦X≦3における最小値が-7のときの最大値
ご教示下さいm(_ _)m

A 回答 (3件)

便宜上f(x)をyに置き換えて解説します


y=x²-2ax-4a+5において 
x、yは変数・・・(自在に)数値が変わり得る。ただしxとyの数値には関連がある
一方aは定数・・・円周率π=3.1415などのようにaも何らかの決まった数値を表わしている。
ただしπとは異なり、aはブラックボックスなので具体的な数値が分からない状態

ということで、0<a<3に適合するようにa=1と仮定して考えてみる
すると,y=x²-2ax-4a+5=x²-2x-4+5=(x-1)²
これは頂点が(1,0)で下に凸の放物線だからグラフをイメージすると(または実際に書いてみてください)、
-3≦X≦3の範囲内(・・・グラフの全体が有効ではなく、-3から3までが有効部分)では
グラフの-3~3の部分だけを見て、その高さが最も低くなるのは頂点の位置であることが分かる。
つまりa=1のとき、3≦X≦3の範囲での最小値は頂点のy座標に一致して
(x=1のとき)最小値y=0・・・しかし、これは-7と不一致

このように、a=2やa=1/2などと仮定して1つ1つについて調べていくのでは、大変すぎてやりきれない
(偶然仮定したaがブラックボックスの数値と一致していれば、そのようなやり方でも答えが分かることも有るが、ラッキーを期待するようでは数学とは言えない)
そこで、aは1、またはその他の数字であると思って(aを数字扱いして)考えを進める
y=x²-2ax-4a+5=(x-a)²-a²-4a+5 ・・・この変形を平方完成と言う(テキストなどを参照して見てください)
aは数字(扱い)だから、この式からグラフの頂点が(a,-a²-4a+5)であるとわかる
ただし、ブラックボックスaの数値には「0<a<3」の範囲と言う条件が付いているので、
頂点のx座標(a)は、0から3の間にあると言える
そこで、頂点のx座標が0から3の間である放物線グラフを描いてみる
頂点のx座標が0に近いグラフを描いてみても、反対に3に近いものを描いてみても、
有効部分である、グラフの-3から3までの部分を見ると、
共通して頂点の位置が最も低い位置となることがわかる。
従って、例えaがブラックボックスでも-3≦X≦3の範囲では
最小値は、頂点のy座標と一致してy(min)=-a²-4a+5 であることがわかる
これが-7であるというなら
y(min)=-a²-4a+5=-7
この方程式を解くと
a²+4a-12=(a-2)(a+6)=0よりa=-6,2
0<a<3よりa=2
従ってブラックボックスが解けて、2次関数の具体的な形が分かったことになる
→y=(x-a)²-a²-4a+5 にa=2を代入
⇔y=(x-2)²-7
頂点(2,-7)

あとはこのグラフの有効部分-3≦x≦3で最大値を求めるだけ
グラフを書けば最大値はx=-3で取ることが分かるから
y(max)=(-3-2)²-7=18・・・答え
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f(x) = x^2 - 2ax - 4a + 5 = (x - a)^2 - a^2 - 4a + 5


ですから
 y = f(x)
のグラフは
・下に凸の放物線
・頂点は (a, -a^2 - 4a + 5)
・軸は x = a
ということが分かります。

このグラフを書いてみれば、0 < a < 3 ということは、軸 x = a が x の定義域 -3 ≦ x ≦ 3 の中にあり、その「右半分」にあるということが分かります。

ということは、
・x = a のとき f(x) は最小
・x の定義域の左端、つまり x = -3 のとき最大
になることが一目瞭然でしょう。

それが分からなければ「修行が足りない」ということです。

最小になるのは x=a のときなので、「最小値が -7」ということは
 f(a) = a^2 - 2a^2 - 4a + 5 = -a^2 - 4a + 5 = -7
→ a^2 + 4a - 12 = 0
→ (a + 6)(a - 2) = 0
0 < a < 3 より
 a = 2

従って、
 f(x) = x^2 - 4x - 3
ということになる。

f(x) が最大になるのは x = -3 のときなので
 f(-3) = 9 + 12 - 3 = 18
従って、最大値は 18。
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https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11341946.html と同じ問題ですね。
あちらの回答にコメントがありませんが、どこが解りにくかったですか?
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