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まず、三角形ABCがあります。底辺がBCです。内接円があって接点はそれぞれd、b、aとなります。ちなみに内接点の接点は辺ABにd、辺ACにb、辺BCにaがあります。頂点Aちょうど真下に点Mがあるとすると直角三角形ABMと三角形MBCの出来上がりです。このうち辺AdとAbの勾配はそれぞれ30‰、20‰です。このとき、辺dbの長さはどのようにして求めなければいけないですか。後勾配は角度変換しなければならないですか。

「三角形と内接円について」の質問画像

A 回答 (4件)

直角三角形については、No.2さんの言うとおりでしょうね。


勾配がなんとか‰というのは、BM:AM = 1000:30, CM:AM = 1000:20
という意味でしょうか。
説明文にはありませんが、内接円の半径が r ということでいいですね?

内接円の中心 O を原点として、x軸が直線 BC に平行な xy座標を描きましょう。
BA と Ob が平行なことから、Ob を斜辺とする △ABM に相似な三角形を描いて考えると、
b の座標は ( r/√{ 1 + (30/1000)^2 }, r(30/1000)/√{ 1 + (30/1000)^2 } ) です。
直角三角形の図を描いて、勾配から3辺の比を出せば求められますが、
三角比を知っていれば、1/(cos∠ABM)^2 = 1 + (tan∠ABM)^2 から計算できるでしょう。

d の座標についても、CA が Od に平行であることから同様に
( - r/√{ 1 + (20/1000)^2 }, r(20/1000)/√{ 1 + (20/1000)^2 } ) です。
x座標の正負に注意しましょう。

b と d の座標が判ったので、この2点間の距離は
√{ (r/√{ 1 + (30/1000)^2 ) } + r/√{ 1 + (20/1000)^2 })^2
 + (r(30/1000)/√{ 1 + (30/1000)^2 ) } - r(20/1000)/√{ 1 + (20/1000)^2 })^2 }
= r √{ (1/√{ 1 + (3/100)^2 ) } + 1/√{ 1 + (2/100)^2 })^2
 + ((3/100)/√{ 1 + (3/100)^2 ) } - (2/100)/√{ 1 + (2/100)^2 })^2 }
と計算できます。あとは、電卓の仕事でしょうか?
bd ≒ 1.999 r になります。

直感的に言っても、△ABC が非常に平べったいので、
bd の長さは内接円の直径よりわずかに短いくらいですね。
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どこの長さが分かっているか不明なので、手掛かりになりそうな材料だけ挙げておきます


四角形AdObは「たこ型」なのでAOとbdは直交します
なので、タコ型AdObの面積とAOが分ればbdも分かります
Ab=Ad=sとおけば
タコ型AdObの面積=2△AdO=sr
三平方の定理より AO=√(s²+r²)
タコ型AdObの面積=(1/2)x対角線x対角線=bd・AO/2=bd√(s²+r²)/2でもあるから
sr=bd√(s²+r²)/2…①

さらに
Bd=Ba=t
Ca=Cb=uとすれば
△ABC=(1/2)(t+u)AM=(1/2)r{(s+t)+(t+u)+(u+s)}=(s+t+u)r…②
それぞれの勾配(パーミル)から
直角三角形AMBにおいて
tanB=AM/BM=30/1000=3/100…③
(このときtan∠BAM=100/3)
同様に△AMCにおいて
tanC=AM/CM=2/100…④
(tan∠CAM=100/2)
⇔AM=3BM/100=2CM/100
⇔3t=2u・・・⑤
①から⑤あたりを用いればbdが導き出せるのでは?
与えられた条件によっては別の式が必要かも・・・その場合はご自分で関係式をかんがえてみてください
(ちなみに、私は、ABとAC及びrが与えられている場面を想定して①~⑤を出してみました)

ちなみに、∠BAM=α、∠BAM=βとおけば
tanA=tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
=(500/6)÷(-9994/6)
=-250/4997
くらいまでは出せます
Aは鈍角で177度くらいのようです(三角関数表または計算機を利用)
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ごめんなさい△AMCでした

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直角三角形ABMと三角形MBCの出来上がりではなく、△ABCの間違いでは?

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