教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

△OABに対し、OPベクトル=sOAベクトル+tOBベクトル とする。実数s,t が次の条件を満たしながら動くとき、点Pの存在範囲を求めよ。
s+2t≧1 s≧0, t≧0

上の問題なのですが、2t がどのように扱うのか分かりません。画像は私の回答です。どこから間違えているのか、教えてください。

「△OABに対し、OPベクトル=sOAヘ」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • s+2t=k とおいて、解いていただきたいです。お願いします。

      補足日時:2019/10/28 21:01
gooドクター

A 回答 (5件)

斜交座標を使えば楽だよ。

    • good
    • 1

とりあえず、


s+2t≧1 s≧0, t≧0
であるなら、s, t は幾らでも大きな値が入るでしょ?例えば、s, t が 1000でも良い。
なので、何かの内部って答えにはならない。

△OABって書いてくれてるでしょ?
極稀にひっかる時もあるけど、こういう時は、Oを原点として、OAをx軸ベクトル向きとして絵を描く。

元に戻るけど、s+2t≧1 s≧0, t≧0 は範囲広すぎなので、逆に満たさない条件を考えてみる。
s+2t<1 s≧0, t≧0
これって、st平面で、直線 t = -1/2*s + 1/2の下側の 第一象限の部分。s切片が1、t切片が1/2。
OA、OBがそれぞれ、x軸、y軸の単位ベクトル、つまり、∠AOBが直角なら、
そのまま 上記の領域以外の部分が答えになるけど残念ながら違う。

でも、空間を歪めてるだけだから想像つくでしょ?
OBの中点をCとして・・・
    • good
    • 0

OP↑=u*OQ↑+v*OR↑ :u+v=1、0≦u、0≦v  (条件A)とあらわされる点Pがどのような存在範囲となるか説明できますか



OP↑=u*OQ↑+v*OR↑ :u+v≦1、0≦u、0≦v  (条件B)と
OP↑=u*OQ↑+v*OR↑ :u+v≧1、0≦u、0≦v  (条件C)ではどうでしょう

これができているならば
あとは(強引に)この形にすれば良いです

s+2t=k とすれば
(s/k) + (2t/k) =1 なので、u=(s/k)、v=(2t/k) とすることを考えて

OP↑=s*OA↑+t*OB↑
OP↑=(s/k)*k*OA↑+(2t/k)*(k/2)*OB↑
OP↑=u*OQ↑+v*OR↑ :u=(s/k)、v=(2t/k) 、OQ↑=k*OA↑、OR↑=(k/2)*OB↑
u+v=(s+2t)/k=1 となって、上で示した(条件A)になります、ただしkは一定ではなくk≧1

また、
u=s、v=2t と考えると
OP↑=s*OA↑+t*OB↑
OP↑=s*OA↑+(2t)*(1/2)*OB↑
OP↑=u*OQ↑+v*OR↑ :u=s、v=2t、OQ↑=OA↑、OR↑=(1/2)*OB↑:u+v≧1 となって、上で示した(条件C)となります
    • good
    • 0

こういうのは、以下のように単純に考えればいい。

(以下、ベクトルの矢印は省略)
なお、s+2t≧1は転記ミスで、s+2t≦1でしょ。

まず、もし、「OP=sOA+tOBで、s+t≦1、s≧0、t≧0」なら、点Pは△OPBの周及び内部を動くというのは常識。

しかし、この問題では、s+2t≦1なので、こういうふうに考える。

2t=uとおく、問題は、「OP=sOA+tOBで、s+2t≦1、s≧0、t≧0」なので、これは、
「OP=sOA+(u/2)OBで、s+u≦1、s≧0、u≧0」ということ。

これは、さらに(1/2)OB=OCとおくと、「OP=sOA+uOCで、s+u≦1、s≧0、u≧0」ということ。
つまり、点Pは△OACの周及び内部を動く。

Cは辺OBの中点だから、答は、「辺OBの中点をCとおくと、点Pの存在範囲は、△OACの周及び内部」
    • good
    • 0

はじめに、条件式が一次式ばかりなので、2点PとQが存在範囲内なら、PとQの中間点Rはみな存在範囲内にあることを証明する。


点Pが問題の条件を満たす点とする。↗OPは式①のように表され、
そのときのs₁,t₁は②を満たす。
↗OP=s₁↗OA+t₁↗OB_①
s₁+2t₁≧1  s₁≧0,  t₁≧0_②
同様に、点Qが問題の条件を満たす時、↗OQは式③で表され、s₂,t₂は④を満たす。
↗OQ=s₂↗OA+t₂↗OB_③
s₂+2t₂≧1  s₂≧0,  t₂≧0_④
aを0≦a≦1_⑤を満たす数とする。
式①×a+式③×(1-a)を行うと⑥が成立する。
a↗OP+(1-a)↗OQ=(as₁+(1-a)s₂)↗OA+(at₁+(1-a)t₂)↗OB_⑥
②×a+④×(1-a)を行うと不等式⑦が成立する。
(as₁+(1-a)s₂)+2(at₁+(1-a)t₂)≧1 as₁+(1-a)s₂≧0,   at₁+(1-a)t₂≧0, _⑦
s₃= as₁+(1-a)s₂ t₃=at₁+(1-a)t₂ と置くと⑥と⑦は⑧と⑨となる。
R=a↗OP+(1-a)↗OQ=s₃↗OA+ t₃↗OB_⑧
s₃+2 t₃≧1  s₃≧0,   t₃≧0, _⑨
PとQを直線で結んだ線上の任意の点Rを式⑧のR=a↗OP+(1-a)↗OQ の形に表すことができて⑤の0≦a≦1の条件をみたす。Rは⑨の条件をみたすから範囲内である。(証明終)
限界点としてs=0,t=1/2 ↗OP=↗OB/2 の点をCとし、s=1,t=0 ↗OP=↗OAの点はA、s= N,t=0 ↗OP=N↗OA をFとし、s=0,t= N ↗OP= N↗OBをGとする。Nは非常に大きい数とする。ACGFの4点を描き、それらを結ぶ線とさらに点を結ぶと図1の範囲になる。(図1の黄色の範囲)
条件式s+2t≧1をs+2t≧k に変えたときは、s= k,t=0の点をD、s= 0,t= k/2の点をEとして、DEGFの四辺形の内部と周上が範囲である。(図2の黄色の範囲)
「△OABに対し、OPベクトル=sOAヘ」の回答画像5
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


人気Q&Aランキング