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θが微小の時、sinθ=θ、cosθ=1として近似解が計算できます。近似解として適用することができるθの範囲について根拠を示せる人、教えてください。

gooドクター

A 回答 (6件)

y=sinθのθ=0の接線の傾きは(sinθ)’=cosθ、cos0=1よって、y=1*θ+b、θ=0の時y=0からb=0


θ=0の接線はy=θと言うことで、質問者さまの指摘のようになっています。
θの範囲については、y=sinθはθ=0で連続と証明するしかありません。所謂、δ‐ε論法です。
任意のεが存在して、その中からδを選んで
0<|θー0|<δの時、|sinθ-0|<ε、|θ-(θ³)/3!+(θ⁵)/5!-(θ⁷)/7!+(θ⁹)/9!・・・|<θ=ε(θ<1)
δ=εとすると、y=sinθはθ=0で連続になります。この時の条件はθ<1
θが1未満の時です。
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この辺の言い回しってのは、θが微小 → θ^2がθに対して無視できるからゼロにしちゃおう! ってノリ。


なので、θ^2/θが 有効桁数より小さい場合(+ θ^2の係数分の余裕は欲しい)。
他の方と同様に 使い方によるって話。

アルゴリズムを公開してないエクセルは問題外として、オープンな言語なら有効数字を意識して必要な項まで計算してるはず。
なので、そのような言語を使って実際に計算して検証しようにも、有効数字まで。せいぜい倍精度ってやつかな。
それ以上の精度は無理って話です。

例えば、方程式を解析して、最後の最後、つまり、簡単な四則演算くらいまでに計算できてるなら良いけど、
計算途中で使うとなると話は別です。
厳密にいえば、上記の近似解が、三角関数の基本的な定理を満たす必要があります。
簡単な例だと、三平方の定理、θ^2 + 1 = 1。θ^2を有効数字の向こう側へ追い出さないといけない。
まぁ、近似解って物理屋さんのツールであって数学じゃって考えれば、多少の矛盾は許されるかな・・・
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>近似解として適用することができる


具体性のない言葉ですが、
誤差の上限はテイラ-展開の剰余項から計算出来ますよ。
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>近似解として適用することができるθの範囲について根拠を示せる人、



根拠も何も、「どの程度の誤差まで許容するか」というあなたの判断次第ですよ。
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角度の定義は、以下になります。


角度=その円周長÷半径
正弦や正接の式において、
斜辺や底辺を半径とし、且つ、
その「高さ部分」が「その円周長」とみなせる場合(範囲)が、
sinθ=θ、tanθ=θ
と言えます。
図を描いて見れば、すぐに理解できると思います。
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> 近似解として適用することができるθの範囲について



その「適用する」の範囲とか裁量次第では。

例えば、
実際の解との誤差が10%以下の場合を「適用することができる」とするなら、θ/sinθだかその逆数だかが0.9から1.1の範囲になるθの範囲だとか。
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