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2次曲面の分類
2次曲面の分類を線形代数の教科書で読みましたが、ピンと来なかったので、具体的方法論を見ることにしました。
画像の曲面の分類をする際に、解答ではAの固有値を出し、固有ベクトルを並べた直交行列を使い対角化していますが、その後1次の項を消そうと、1/√2(x-z)-√2,=x′等と置いていますが、この定数項√2はどうやって求めているのですか?、1/√2(x-z)は直交行列の成分と一致していますから、わかります。
また、ネットで調べると、まず、xyのようなクロスタームの項を、、1/√2(x-z)=x′で消し、平方完成を利用して、標準形に持ち込んでいるものもありました。
実践的には、何が一番速く、手軽な方法なのでしょうか?

「2次曲面の分類 2次曲面の分類を線形代数」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 解答部分です

    「2次曲面の分類 2次曲面の分類を線形代数」の補足画像1
      補足日時:2019/11/02 03:05
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A 回答 (2件)

No.1の続き


行列⑬の行列式をとると、⑭になる。
AX-λX=(A-λI)X=O__⑬
  det(A-λI)=det(O)=0__⑭
  ⑭は行列式=0の形の方程式で、あなたの例題を図5の右端の式(14)に示した。この行列式を展開す    
るとλの3次方程式で、(1-λ)((1-λ)²-2)=0 __(15)
  これを解くと3個の固有値λ₁,λ₂,λ3を得る。
あなたの例題では、λ₁=1,λ₂=1-√2,λ3=1+√2 _(16)となる。
固有値が出たら、固有方程式⑬に入れて、各固有値に属する固有ベクトルX₁,X₂,X3を求める。
  ⑬は不定方程式だから、例えばX=(x y z)のxを勝手にx=1と決めて解くと解ける。
するとX₁=t(10 -1)、X₂=t(1 √2  1) 、X3=t(1 -√2  1 )_(17)となる。
次にX₁,X₂,X3の長さを1に揃えるために、X₁を√2で割る,X₂とX3を2で割る。これを規準化という。規準化した結果を再びX ₁,X ₂,X3と名付けると
X₁=t(1/√2 0 -1√2)、X₂=t(1/2 1/√2  1/2) 、X3=t(1/2 -1/√2 1/2 )_(18)となる。
ここで、Aが対称行列のとき固有ベクトルは相互に直交するという定理を証明する。
転置の次の諸規則を使う。転置を2回とると元に戻る、ttX=X。
転置の括弧を外すと掛算順序が逆になりt(tXY)= tYX、t(tXAY)= tY tAX。
規準化したX₁,X₂,X3も固有方程式⑦を満足するので、⑦に入れると
AX₁=λ₁X₁、AX₂=λ₂X₂、AX3=λ3X3_⑲が成立する。
第一式の両辺にtX₂をかけるとtX₂AX₁=λ₁ tX₂X₁_⑳
第二式のtX₁をかけるとtX₁AX₂=λ₂ tX₁X₂ その両辺の転置はt(tX₁AX₂) =t(λ₂ tX₁X₂)で、
括弧を外すとtX₂AX₁=λ₂ tX₂X₁_㉑  tA=Aを使った。
⑳から㉑を引くと、0=λ₁ tX₂X₁-λ₂ tX₂X₁=(λ₁-λ₂)tX₂X₁_㉒
もしλ₁-λ₂≠0ならtX₂X₁=0_㉓。λ₁とλ₂が異なるとき、X₁とX₂は直交する。
同様にして、相異なる固有値の固有ベクトルは直交する。(証明終)
(18)の規準化したX ₁,X ₂,X3は直交する。これを並べてP= [X₁X₂X3]という行列を作ると
Pは直交行列である。P にtPを掛けると、tP P= t[X₁X₂X3][X₁X₂X3]。各行と各列の積は、
同じ行と列は1、異なる行と列のtX₁X₂等は0となるので
tX₁X₁= tX₂X₂= tX3X3=1、tX₁X₂= tX₂X₁= tX₁X3= tX3X₁= tX₂X3= tX3X₂=0_㉓
tPはPの逆行列である。次にAPは⑲を使うと
AP=A[X₁X₂X3]=[AX₁ AX₂ AX3] =[λ₁X₁ λ₂X₂ λ3X3] _㉔
これにtP =t[X₁X₂X3] =[t X₁ t X₂ t X3]を掛けると、
tPAP= [t X₁ t X₂ t X3] [λ₁X₁ λ₂X₂ λ3X3] _㉕
㉓からtX₁λ₁X₁=λ₁、tX₂λ₂X₂=λ₂、tX3λ3X3=λ3、tX₁λ₂X₂= tX₂λ₁X₁=tX₁λ3X3=0等を使うと
㉕の右辺の積は、対角要素はλ₁,λ₂,λ3、非対角要素はすべて0の対角行列Dになる。
tPAP=D=diag(λ₁,λ₂,λ3)_㉖
㉖からAを解くと
A=P DP-1_㉗
これを二次曲面の方程式⑥tX A X=1にいれると
tX P DP-1X=1_㉘
対角化のための座標変換Y=P-1Xを使って書けば㉘は㉙となる。
tYDY=1_㉙
⑥の代わりに(6) tX A X=-5を使うと
tYDY= tY diag(1,1-√2, 1+√2)Y=-5_(30)
となる。-1を掛けると、固有値の符号が-+-となり二葉双曲面となる。
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この回答へのお礼

ありがとうございます、確認してみます

お礼日時:2019/11/10 13:21

実践的には、何が一番速く、手軽な方法なのでしょうか?とは、要領のよい質問ですが


手軽なものはありません。固有値問題を解く方法が正しい。
1、演習問題は、解けるように作ってあるので、あなたが演習問題を解こうとしているだけなら、要領よく解く方法があります。しかし、実際の問題を解く能力を身に着けたいなら、固有方程式を解くのが正統です。
実際の問題を自由に解くのに、一番速く、手軽な方法は、解法プログラムに計算を任せることです。
一般の問題を解くには、3次方程式を解く必要があり、手計算では手に負えない。そこで全部パソコンに任せると、答えは出る。しかし、貴方には、パソコンがどうして答えを出したのかわからない。
それを知るには、解けるように作った演習問題を自分で解いて、解法を知るしかない。
読んでピンと来ないのは、考えが浅く計算ばかりする教科書が悪いせいです。
そこで、あまり計算を使わない説明を書いてみる。
2、二次曲面の分類:教科書を読んで、2次曲面は何通りあるか解りましたか。
何通りかを表わすとき、形と大きさを指定する変数の個数を使います。
平面図形で、円、正多角形、放物線は大きさを変えても形が変わらないので、一種類しかない。円の場合、半径だけが変数で、変数の個数は1個です、 図1
長方形、楕円、二等辺三角形は、縦と横の長さを指定することが必要で、形をきめる変数は2個です。図2
二次曲線は、楕円、双曲線、放物線の3種類で、楕円と双曲線は、縦と横を指定する変数が2個、放物線は大きさ指定する変数が1個です。図3
二次曲面は、形を指定する変数が3個ある楕円面、一葉双曲面、二葉双曲面と、形を指定する変数が2個の楕円的放物面と双曲的放物面の5種類です。図4
楕円面の標準形の式はx²/a²+y²/b²+z²/c²=1、②双曲線をy軸周りに回転すると一葉双曲面になり、式はx²+y²-z²=1となる。y軸周りに回転すると二葉双曲面になり、式はx²-y²-z²=1となる。
③放物線をy軸周りに回転すると回転放物面になり、式はz=x²+y²。この放物面の大きさを√2倍した放物面の式はx²+y²=2zであり、この放物面の焦点距離は1なので、この式が放物面の標準形である。この放物面は楕円的放物面である。
この式のy²の符号を変えると双曲的放物面となる。馬の鞍型の曲面である。
3、五種類の分類は係数の符号だけできまる:楕円面、一葉双曲面、二葉双曲面、楕円的放物面と双曲的放物面の名前は、標準形にしたとき、2次項x²、y²、z²の係数の符号だけできまる。三つの係数の符号が
  +++は楕円面,++-は一葉双曲面、+--は二葉双曲面、
  ++0は楕円的放物面、+-0は双曲的放物面である。
4、主軸:図4の二次曲面の分類の成果の最大のポイントは、互いに直交する主軸があることです。このことは、固有値問題で、3本の固有ベクトルが互いに直交することにより証明される。
楕円面、一葉双曲面、二葉双曲面には面対称の対称面が3個あり、2個ずつの対称面の交線は互いに直交する。この3個の直線は、対称面に垂直で、主軸という。これをx,y、z軸とする。原点を二次曲面の中心という。
 楕円的放物面と双曲的放物面には面対称の対称面が2個あり、2個の対称面の交線をz軸とするのを標準形とする。z軸とこの曲面の交点を頂点と言い、原点とする。原点を通り、2個の対称面に垂直な直線を主軸といい、x,y軸とする。
 また、もう一つのポイントは、どの曲面にも中心または頂点があることです。
二次曲面の計算の重点は、中心を見つける事と、互いに直交する3本の主軸を見つける事です。
5、楕円面、一葉双曲面、二葉双曲面は、3個の主軸の、x,y,z方向に伸縮すると、形が変わるので、形を指定する変数は3個である。楕円的放物面と双曲的放物面はx,y方向に伸縮すると形が変わるので、形を指定する変数は2個である。
この5種類の曲面を、主軸以外の斜め方向に伸縮すると、形が変わると同時に、主軸の向きが変わるが、変形後の曲面も、3個の主軸が直交する性質は不変である。変形後の曲面の形を保ったまま回転して、主軸の向きを戻すと、元の曲面で、主軸方向に伸縮したのと同じ曲面になる。
このことは、固有値問題で、3本の固有ベクトルが互いに直交することにより証明される。
平方完成を利用した方法では、固有ベクトルの直交性が乱されるので、正統ではない。
6、計算の方法:一般論の式は、丸のついた①等の式番号を使う。あなたの例題についての式は括弧のついた(1)のような式番号で示す。
二次曲面の式は、二乗の項x²、y²、z²、交互作用項x y、x z、y z、一次項x、y、z、定数項の10個の項があり、各項の係数は全体で10個ある。方程式の一般形は式①となる。
  ax²+by²+cz²+2fxy+2gxz+2hyz+px+qy+rz+s=0_①
交互作用項には2fxy+2gxz+2hyzと数字2を付ける。
あなたの例題は x²+y²+z²-2xy-2yz+4z+5=0_(1)
中心の座標を(x₀、y₀、z₀)とすると、原点を中心に移す平行移動の座標変換をすると、一次項はみな消える。
  x=x₀+ x ’、 y = y₀+ y ’、 z = z₀+ z ’ _②
例題では、(x₀、y₀、z₀)=(2、2、0)だからx=2+ X、 y = 2+Y、 z =Z _(2)と大文字に変換すると
(2+ X)²+(2+Y)²+Z²-2(2+ X)(2+Y)-2(2+Y) Z+4 Z+5=0
=X²+Y²+Z²-2XY-2YZ+5=0
二乗項x²、y²、z²と交互作用項x y、x z、y zの係数は変わらない。
平方完成の計算は、原点を中心に移す平行移動をして一次項を消す計算に使った。
質問文に張り付けた写真の解答の中の説明は、複雑すぎる。初めに平行移動の座標変換②を使って1次項を消去しておけば、複雑な説明は不要であった。
座標変換後の定数項を-Sとすると、座標変換後の一般式は、式③となる。
  ax²+by²+cz²+2fxy+2gxz+2hyz-S=0_③
  X²+Y²+Z²-2XY-2YZ+5=0  S=-5 _(3)
式③の両辺をSで割り、割った後の係数を改めてa、b、c、2f、2g、2hとすると式③は式④となる。
  ax²+by²+cz²+fxy+gxz+hyz=1_④
  X²+Y²+Z²-2XY-2YZ=-5_(4) S=-5で割ると、分数になるので、計算は保留する。
式④が主軸を定める方程式である。
これを行列を使って式⑥の形に書く。
ここで行列AとベクトルXは式⑤のように定める。
  A=( a f g     _⑤  A=( 1 -1 0 _(5)
     f b h            -1  1 -1
     g h c )            0 -1 0 )
X=t(x y z)  横ベクトル(x y z)を転置した縦ベクトルの記号をX=t(x y z)とする。
tは転置記号でtXはXの転置行列である。Aは対称行列だからtA=Aである。
  tX A X=1__⑥              tX A X=-5__(6)
行列の式⑤⑥は括弧の文字入力が不正確なので、図6に示す。
Xは曲面上の任意の点の座標(x,y,z)を成分とする位置ベクトルである、Xに行列Aを掛けてできるベクトルAXは、a、b、c、f、g、h等の数をかけて加えるので、元の向きとは異なる方向を向く。
しかし、Xが主軸の上にある時は、対称性からAXは元と向きが変わらない。AXは同じ主軸の上にあるベクトルである。そこで、λを定数としてAXはλXとなるので、式⑦が成立する。
AX=λX__⑦
この式を固有方程式という。主軸方向のベクトルであるXを固有ベクトルという。定数λを固有値という。式⑦を式⑥に入れると式⑧が成立する。
tXλX=1__⑧
これを確かめるために、二次元図形の例を調べる。図3①の、長径a、短径bの楕円を例とする。
長径aの方向の楕円上の点は(x,0)=(a,0)であるからX=t(a,0)は主軸の一つで、式⑧tXλX=1は⑨となり、この固有値をλ₁とすると、λ₁=1/ a²となる。
tXλX = t(a,0)λ₁ t(a,0) =λ₁a²=1 から、 λ₁=1/ a²__⑨
短径bの方向の楕円上の点は(0,y)=(0,b)であるからX=t(0,b)はもう一つの主軸で、同様にして式⑧tXλX=1は⑩となり、この固有値をλ₂とすると、λ₂=1/ b²となる。
tXλX = t(0,b)λ₂ t(0,b) =λ₂b²=1 から、  λ₂=1/ b²__⑩
これから方程式⑥は⑪となり、楕円の方程式が出る。
tXλX=λ₁x²+λ₂ y²=(1/ a²)x²+(1/ b²) y²=1__⑪
図4の径a、b、cの楕円面でも、同様にして
tXλX=λ₁x²+λ₂ y²+λ3z²=(1/a²)x²+(1/b²)y²+(1/c²)z²=1__⑫
となる。⑨~⑫は、xyz座標が主軸と一致しているから容易に確認できるが、xyz座標が主軸と一致していないときでも、式⑦は成立しているので、固有方程式⑦から固有値λと固有ベクトルXを求めることができる。式⑦からλXを移項すると⑬となり、右辺のOは零行列である。
以下は次の投稿に続く。
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