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なぜS(n+1)-S(n)をすることによって最小値となるnが求められるのですか?

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gooドクター

A 回答 (3件)

>なぜS(n+1)-S(n)をすることによって最小値となるnが求められるのですか?


なぜ「最小値」になるかは私もわかりませんが、
少なくとも、「最小値ならば、両隣より小さい」よね。
S(n) の両隣は S(n+1)とS(n-1)だよね。

写真が切れているのでこの先がわかりませんが、
求まったnは「極小値」なので、本当に「最小値」になっているかは、別途、確認が必要です。最小値の検証がない答案では満点はもらえない気がします。
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数列ってのは、自然数を定義域とする関数なんですよ。


微分可能な関数 f(x) の最小値を求める時、f’(x) = 0 となる x の中から
f(x) の極小値を探して、その中から最小値を求める
なんてことをやりましたね? それと似た話。
S(n-1) ≧ S(n) ≦ S(n+1) となるような S(n) を見つければ、
それが S(n) の極小値であって、その中から最小値を見つけることができます。
そのために、S(n+1) - S(n) の正負が変わる所を探すのです。
この問題の場合、S(50) が唯一の極小値で、よって最小値でしたが、
一般には、極小値たちの中から最小値を探すステップが必要なことも
忘れないようにしましょう。
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S(n+1)やS(n)を和と言うよりは数列として見てあげるようにします


すると数列S(n)について、S(n+1)-S(n)から隣り合う2項間の大小関係が判明します
画像の通りS(n+1)-S(n)=|n|-|n-100|です
この差がマイナスなら引く数:S(n)の方が、引かれる数:S(n+1)より大きいという事になります
つまりn=1ならS(n+1)-S(n)=|n|-|n-100|よりs2-s1=1-99<0
ゆえに、S2<S1
n=2なら S3<S2
n=3なら S4<S3




一括して並べれば 
・・・<S4<S3<S2<S1 
というように隣り合う2項の大小からドミノ式に この数列は徐々に小さくなるという事がわかります

同様にして
差が0なら両者は等しく ・・・この数列は大きくも小さくもならない
差がプラスならS(n)の方が小さい・・・この数列は徐々に大きくなる と言えます

これを踏まえて、この問題では
S1>S2>s3>・・・>s50=s51<s52<・・・<s100となるようです
この不等式のなかではs50とs51が最小ですよね。(このときn=50)
この関係を割り出せたのは、S(n+1)-S(n)=|n|-|n-100|のおかげと言うわけです
この式の右辺をnの大きさによって場合分け(n<0,0≦n≦100,100<n)して計算、
もしくはm=|n|-|n-100|とおいて縦軸m、横軸yのグラフを書けば
S(n+1)-S(n)=|n|-|n-100|がプラスになるのか、0になるのか、マイナスになるのかという切り替わりポイントがn=50であることが分かります
実際に確認してもらえば分かりますが
n≦49なら、S(n+1)-S(n)=|n|-|n-100|<0・・・この事からs1からs50まではこの数列は数値が減少すると分かります
n=50なら、S(n+1)-S(n)=|n|-|n-100|=0・・・この事からs51=S50
n≧51なら、S(n+1)-S(n)=|n|-|n-100|>0・・・この事からs51からs100まではこの数列は数値が増加
がわかるのです。

以上から分かるように不等号の向きが変わるポイントで最小ですから、
S(n+1)-S(n)=|n|-|n-100|の大小関係が逆転するnを見つければ良いという考え方です
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