数学についてです。 e^sinx=1+x+(x^2)/2-(x^4)/8 という近似式の求め方がわか

数学についてです。

e^sinx=1+x+(x^2)/2-(x^4)/8
という近似式の求め方がわからないのでどなたか教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/10 23:04

e^(sin x) と 1 + x + (x^2)/2 - (x^4)/8 は、イコールではないです。

e^x と sin x のマクローリン近似が
e^x = 1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)x^3 + (1/24)x^4 + Re(x),　Re(x)/x^4 → 0 (when x→0).
sin x = x - (1/6)x^3 + Rs(x),　Rs(x)/x^4 → 0 (when x→0).
と書けるので、これを使って、

e^(sin x) = 1 + (sin x) + (1/2)(sin x)^2 + (1/6)(sin x)^3 + (1/24)(sin x)^4 + Re(sin x)
= 1 + { x - (1/6)x^3 + Rs(x) } + (1/2){ x - (1/6)x^3 + Rs(x) }^2 + (1/6){ x - (1/6)x^3 + Rs(x) }^3 + (1/24){ x - (1/6)x^3 + Rs(x) }^4 + Re(sin x)
= 1 + x + (1/2)x^2 - (1/8)x^4 + R(x),　　　　←[＊]

R(x) = - (1/12)x^5 - (1/72)x^6 + (1/72)x^7 + (1/144)x^8 - (1/12196)x^9 - (1/1296)x^10 + (1/31104)x^12
　+ { 1 + x + (1/2)x^2 - (1/6)x^4 - (1/12)x^5 + (1/72)x^6 + (1/72)x^7 - (1/1296)x^9 } R(x)
　+ { (1/2) + (1/2)x + (1/4)x^2 - (1/12)x^3 - (1/12)x^4 + (1/144)x^6 } R(x)^2
　+ { (1/6) + (1/6)x - (1/36)x^3 } R(x)^3
　+ (1/24) R(x)^4.
と展開できます。

Re(x)/x^4 → 0, Rs(x)/x^4 → 0 (when x→0) から
R(x)/x^4 → 0 (when x→0) が示せるので、
[＊]は e^(sin x) の 4次マクローリン近似となっています。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/11/11 12:37

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/10 23:12

あ、しまった。

書き違い。

R(x) = - (1/12)x^5 - (1/72)x^6 + (1/72)x^7 + (1/144)x^8 - (1/12196)x^9 - (1/1296)x^10 + (1/31104)x^12
　+ { 1 + x + (1/2)x^2 - (1/6)x^4 - (1/12)x^5 + (1/72)x^6 + (1/72)x^7 - (1/1296)x^9 } Rs(x)
　+ { (1/2) + (1/2)x + (1/4)x^2 - (1/12)x^3 - (1/12)x^4 + (1/144)x^6 } Rs(x)^2
　+ { (1/6) + (1/6)x - (1/36)x^3 } Rs(x)^3
　+ (1/24) Rs(x)^4
　+ Re(sin x).
でした。

R(x)/x^4 = - (1/12)x - (1/72)x^2 + (1/72)x^3 + (1/144)x^4 - (1/12196)x^5 - (1/1296)x^6 + (1/31104)x^8
　+ { 1 + x + (1/2)x^2 - (1/6)x^4 - (1/12)x^5 + (1/72)x^6 + (1/72)x^7 - (1/1296)x^9 } Rs(x)/x^4
　+ { (1/2) + (1/2)x + (1/4)x^2 - (1/12)x^3 - (1/12)x^4 + (1/144)x^6 }(x^4){ Rs(x)/x^4 }^2
　+ { (1/6) + (1/6)x - (1/36)x^3 }(x^8){ Rs(x)/x^4 }^3
　+ (1/24)(x^12){ Rs(x)/x^4 }^4
　+ { Re(sin x)/(sin x)^4 }{ (sin x)/x }^4
→ 0 (when x→0).
となりますね。