f(x,y) ＝sin^2(xy^2) この2階偏導関数の求め方を教えてください！ 答えは fxx(

f(x,y) ＝sin^2(xy^2)
この2階偏導関数の求め方を教えてください！

答えは
fxx(x,y)＝2y^4cos^2(xy^2)-2y^4sin^2(xy^2)
fxy(x,y)=4ysin(xy^2)cos(xy^2)+4xy^3cos^2(xy^2)-4xy^3sin^2(xy^2)
fyy(x,y)=4xsin(xy^2)cos(xy^2)+8x^2y^2cos^2(xy^2)-8x^2y^2sin^2(xy^2)
になりみたいです。

長くてすみません、、もし面倒なら途中式だけでもご教授いただけると助かります。。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/11/13 20:43

「偏微分」とは、着目する変数以外は「定数」とみなせばよいということです。

f(x, y) = sin^2(xy^2)

なら、x で偏微分するときには
　f(x) = sin^2(Ax)　(A=y^2)
として
　df/dx = 2sin(Ax) * A*cos(Ax)　　　　　①
　d²f/dx² = 2A*cos(Ax) * A*cos(Ax) + 2sin(Ax) * [-A^2 *sin(Ax) ]
　　　　　= 2A^2*cos^2(Ax) - 2A^2 *sin^2(Ax)
なので、A=y^2 で戻して
　fxx(x, y) = 2y^2 * cos^2(xy^2) - 2y^2 * sin^2(xy^2)

同様に y で偏微分するときには
　f(y) = sin^2(By^2)　(B=x)
として
　df/dy = 2sin(By^2) * B*cos(By^2) * 2y = 4By*sin(By^2)*cos(By^2)
　d²f/dy² = 4B*sin(By^2)*cos(By^2) + 4By*[B*cos(By^2)*2y]*cos(By^2) + 4By*sin(By^2)*[-B*sin(By^2)*2y]
　　　　　= 4B*sin^2(By^2) + 8B^2 *y^2 *cos^2(By^2) - 8B^2 *y^2 *sin^2(By^2)
なので、B=x で戻して
　fyy(x, y) = 4x*sin^2(xy^2) + 8x^2 *y^2 *cos^2(xy^2) - 8x^2 *y^2 *sin^2(xy^2)


一方、①で一度A=y^2 で戻して
　df/dx = 2sin(xy^2) * y^2 *cos(xy^2)
にして、あらためてこれを y のみの関数として x=B （定数）とすれば
　[df/dx] = 2sin(By^2) * y^2 *cos(By^2)
なので、
　d[df/dx]/dy = 2B*cos(By^2)*2y * y^2 *cos(By^2) + 2sin(By^2) * 2y *cos(By^2) + 2sin(By^2) * y^2 *[ -B*sin(By^2)*2y ]
　　　　　　　= 4By^3 *cos^2(By^2) + 4y*sin(By^2)*cos(By^2) - 4By^3*sin^2(By^2)
なので、B=x で戻して
　fxy(x, y) = 4xy^3 *cos^2(xy^2) + 4y*sin(xy^2)*cos(xy^2) - 4xy^3*sin^2(xy^2)

「偏微分」をきちんと理解していれば、機械的にできるはずですが？

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/11/13 20:59