中学2年生の数学の問題です。教えてください。

塾のプリントでわからない問題があったので教えてください。1辺の長さが6㎝の立方体の各面の対角線の交点を結んでできる正八面体の体積を求めよ、とうい問題です。解き方、答えを教えてください。よろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/11/23 10:37

図をかいてみましたか？

立方体を書いて、各面の中心に点をうつ
６点を結んで正四面体を作る
すると正四面体は２つのピラミッド型に分割できることに気が付く
このピラミッドの片側について調べると、底面は正方形になっている
この正方形の面積は自分で分かりますよね！
また、ピラミッドの高さは立方体の１辺の半分
という事は、ピラミッドの体積＝詩角錐の体積＝(1/3)x底面積ｘ高さ　で計算できる恥です
これを②倍すれば正８面体の体積となります。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/23 13:04

72cm^3 になる貴方の考え方を書かないと、どこが間違っているのかは指摘しようがありません。

No.1 の計算でも、No.3 の計算でも、答えは 36cm^3 になります。

もとの立方体を、各辺を 3cm+3cm に分割して 8個の小立方体に分けたら考えやすいかもしれない。
正八面体に含まれる部分は、各小立方体の中で三角錐の部分を占めます。
小立方体の図を描いてみてください。三角錐の底面積が小立方体の 1/2、高さは共通なので、
三角錐の体積は小立方体の (1/2)×1×(1/3) = 1/6 になります。これを 8個集めて、
正八面体の体積はもとの立方体の 1/6、つまり (6×6×6)×1/6 = 36 cm^3 です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
おっしゃる通り考えを書く必要があったと思います。
理解できました。
助かりました。
ありがとうございました！

お礼日時：2019/11/23 13:19

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/11/23 12:11

2倍が余計です

ピラミッドの底面積＝6x6÷２＝１８
ピラミッドの体積＝(1/3)x18x3=18
正8面体＝18x2=36
です

この回答へのお礼

わかりました。大変助かりました！ありがとうございました！

お礼日時：2019/11/23 13:17

No.4 回答者： ybnormal 回答日時： 2019/11/23 10:48

＃１です。

訂正します。
底辺の正四角形　→　底面の正四角形

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/11/23 10:42

#2誤字を訂正しておきます

「という事は、ピラミッドの体積＝詩角錐の体積＝(1/3)x底面積ｘ高さ　で計算できる恥です」
→正しくは　
という事は、ピラミッドの体積＝四角錐の体積＝(1/3)x底面積ｘ高さ　で計算できるはずです

次に補足
ピラミッドの底面積は図を見れば一目瞭然
6x6の正方形の中にピラミッドの底面となる正方形が出来ているので
ピラミッド底面は　6x6の面積の半分です

この回答へのお礼

早々にありがとうございます。
同じように考えて解いたつもりででた答えは72cm3となるのですが、解答に書いてあるのは、36cm3 とあります。やはり、私は間違っていますか？

お礼日時：2019/11/23 12:00

No.1 回答者： ybnormal 回答日時： 2019/11/23 10:32

自分で考えた方がいいから、考え方だけ。

問題の正八面体は2つの正四角すいからなります。
そのうち一つの正四角すいに注目。その四角すいの底辺の正四角形の一辺は２つの交点（対角線の交点）を結んだものだから、三平方の定理を使えば√18とでます。となると、底辺の正四角形の面積は18．
四角すいの高さは、立方体の高さの半分だから、3．
これだけの情報があれば、正四角すいの体積はでます。正八面体の体積はその2倍。

この回答へのお礼

早々にありがとうございます。
まだ三平方の定理は習っておらず、、自分だ考えて解いた解答は72cm3となるのですが、解答に書いてあるのは、36cm3 とあります。やはり、私は間違っていますか？

お礼日時：2019/11/23 11:58