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△ABCにおいて(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6のときAを求めよ。

という問題なのですが、解き方が分かりません。
解説よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (3件)

(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6=4k:5k:6k とおくと


b+c=4k…①
c+a=5k…②
a+b=6k…③
①-②より
b-a=-k・・・4
④+③より
2b=5k
b=(5/2)k
ゆえに a=6k-(5/2)k=(7/2)k
c=4k-(5/2)k=(3/2)k
このことから余弦定理より
cosA=(b²+c²-a²)/2bc
={(25/4)k²+(9/4)k²-(49/4)k²}÷(15/2)k²
=(-15/4)÷(15/2)
=-1/2
ゆえにA=120°
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(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6より、



b+c=4x/(4+5+6)=4x/15 …(1)
c+a=5x/(4+5+6)=5x/15 …(2)
a+b=6x/(4+5+6)=6x/15 …(3)
(x>0)

とすると、(2)-(1)より、

a-b=x/15 …(4)

(3)+(4)より、
2a=7x/15
a=7x/30 …(5)

(5)を(3)に代入すると、
7x/30 + b=6x/15
b=5x/30(=x/6) …(6)

(6)を(1)に代入すると、
5x/30 + c=4x/15
c=3x/30(=x/10)

余弦定理より、

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA
(7x/30)^2=(5x/30)^2 + (3x/30)^2 - 2(5x/30)(3x/30)cosA
49x^2=25x^2 + 9x^2 - 30(x^2)cosA
-30(x^2)cosA=15x^2
cosA=-1/2
A=120°((2/3)π)
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条件より


〈(c+a)+(a+b)-(b+c)〉÷2
=〈2a+b+c-(b+c)〉÷2
=a

よって
〈5+6-4〉÷2
=〈7〉÷2
=3.5
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