環論、局所化の普遍性 局所化の普遍性の命題の証明で、最初にf（s,a)=Φ（a)/Φ（s)という写像

環論、局所化の普遍性
局所化の普遍性の命題の証明で、最初にf（s,a)=Φ（a)/Φ（s)という写像を定義して、それがこの命題でいうΨの性質を満たすことを示していますが、①まず、Bは環という条件のみであり、Φ（a)/Φ（s)というS∧（-1)Aのような形の集合とは限らないので、これの意味するところがぴんときません②fの定義をする際に、Φ（s)が単元であることを確認していますが、この確認は何故必要なのですか？
分かる方教えて頂ければ幸いです。

質問者からの補足コメント

• 命題の証明部分の残りです

  
    補足日時：2019/11/25 01:37

• 

  乗法に関する逆元を持つ元（可逆元）のことです

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/11/25 02:53

• 回答ありがとうございます、（１）（２）ともに証明してみましたが、合っているでしょうか？

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/11/25 14:47

• （２）です

  
    補足日時：2019/11/25 14:50

• 解くように教えてくださった２つの問と元の命題の関係がよくわからないのですが、それも教えていただければと思います。

    補足日時：2019/11/25 15:31

• 回答ありがとうございます。
  確かにφ(a)/φ(s) は、φ(a)(φ(s)^-1) の略記と考えるとつじつまが合うのですが、本文に「逆にψが命題の主張の条件を満たすならば、a∈Ａ，ｓ∈Ｓに対し、φ（a)=ψ(a)=ψ(a/s)ψ(s)なので～」とありますが、ψはＳ＾－１ＡからＢへの写像ですからψ(a)やψ（ｓ）ではなく、ψ（a/1),ψ(s/1)と書くべきだと思います。わざわざこのような表記をしているのはどのような意味があるのですか？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/11/25 15:37

No.7 ベストアンサー 回答者： 確変 回答日時： 2019/11/25 20:50

何を言いたいのか知らないが, 数学には「常識」というものがある.

局所化を扱っている場合, g(a)/g(s) は同値類を表す特別な表記だ.
本来 g(a)g(s)⁻¹ と書きたいものを, g(a)/g(s) で代用するなどという非常識は, 到底許されない.

そうは言っても, B ≅ T⁻¹B という関係により, g(a)g(s)⁻¹ と g(a)/g(s) の同一視が可能なことが判明した.
どちらにも解釈可能なものを, どうしても白黒をつけなければ気が済まないなら, 著者に手紙でも書いて尋ねてみるがいい.

この回答へのお礼

ありがとうございました、納得しました

お礼日時：2019/11/26 01:57

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/25 19:00

＞写像 f の終集合が B だと決めつけて

おや？
f(s,a) = φ(a)/φ(s), φ：A→B, φ(S) ⊂ (Bの単元群) ならば、
f： S×A → B(φ(S)^-1) ⊂ B は明示されてないですか？

この回答へのお礼

ありがとうございました、納得しました

お礼日時：2019/11/26 01:57

No.5 回答者： 確変 回答日時： 2019/11/25 17:30

>解くように教えてくださった２つの問と元の命題の関係がよくわからないのですが、それも教えていただければと思います。

私は貴方の疑問, すなわち,
"g(a)/g(s) を B の元であるかのように扱っていいのはなぜか"
ということに答えただけです.
その本に載っている "命題 1.8.6" との関係, などと言われても困ります.

ただ, 一点だけ指摘すると,
その証明に出てくる写像 f は, 定義域は S × A だと明記されていますが, 終集合は書かれていません.
それなのに, 写像 f の終集合が B だと決めつけて, 貴方は質問しています.
つまり, 貴方も著者も, もう少し注意深くなるべきと言えるでしょう.
数学書は誤植が多いので, 独学は本当に大変ですよ.

No.4 回答者： 確変 回答日時： 2019/11/25 17:03

>回答ありがとうございます、（１）（２）ともに証明してみましたが、合っているでしょうか？

ANo.2 と同様に, 私は A から B への環準同型を g として回答します.

(1) に関しては, かなり大きな問題があります.
試験では, 厳しく採点されると 0 点になるかもしれません.
1 ∈ g(S) であることと 0 ∉ g(S) であることは, 理由も含めて, 採点者にきちんと伝わると思います.
しかし, x, y ∈ g(S) なら xy ∈ g(S) であることに関しては, 気持ちしか伝わってきません.
おそらく, 集合論の試験を受けたことがないため, 証明の「書式」が解っていないのでしょう.
>a, b ∈ S ならば, ab ∈ S であり,
この主張は正しいのですが, こんなに早いタイミングで書くと失敗します.
まずは,
>>x, y ∈ g(S) とする.
で始めます.
そのうえで,
>>このとき, ある a, b ∈ S に対して, g(a) = x, g(b) = y となる.
と続けます.
最後に,
>>ab ∈ S であるから, g(ab) = g(a)g(b) = xy ∈ g(S) である.
ここまで書けば, 減点されないでしょう.
貴方の答案を読むと, g(S) と書くべきものを S と書いてしまっているミスが, 3 つもあります.
証明の「流れ」を作ることに関しても, まだ慣れていないように感じます.
ただ, すでに書いたように, 気持ちは伝わる内容です.

(2) に関しては, よく書けていると思います.
実際, (1) の証明を読んでいなければ, 満点の内容だと判断するでしょう.

B ≅ T⁻¹B が証明されたので, g(a)/g(s) と g(a)g(s)⁻¹ の同一視が可能となり, 貴方の疑問は解決したのではないでしょうか.

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/25 14:02

①

ψは、B への準同型であって、B の中への準同型でもよく、全射である必要はありません。
B の元が φ(a)/φ(s) という形がどうかを気にする理由が無いです。
②
f(a,s) = φ(a)/φ(s) と定義していますね。φ(a)/φ(s) は、φ(a)(φ(s)^-1) の略記です。
φ(s)^-1 の ^-1 は、環B における(乗法)逆元という意味です。
φ が任意の準同型で、φ(S) の中に逆元が存在しないものがあると
その s については φ(a)/φ(s) が定義できません。
このために、φ(ｓ) が B の単元であるような場合だけを考えているのです。

No.2 回答者： 確変 回答日時： 2019/11/25 06:38

いろいろな意味で, 懲りない人ですね.

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

この程度の疑問を自力で解決できない人が, その本を使って独学するのは絶対に無理です.

フォントの関係で, A から B への環準同型の名前を g に変更します.
以下の命題 (1), (2) を証明してください.
証明の際に g(s) が単元であることを使うので, 貴方の疑問はすべて解決するはずです.
(1) T := g(S) ⊂ B は乗法的集合である.
(2) B ≅ T⁻¹B

余談ですが, 貴方はギリシャ文字の「ファイ」に関して, 大文字と小文字を区別できていますか.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/11/25 02:32

「単元」はどのように定義されている?

この回答へのお礼

ありがとうございました、納得しました

お礼日時：2019/11/26 01:57