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高校1年、数Ⅰ 平方関数です。
aは正の定数とする。関数y=ax²-4ax+b(0<=x<=5)の最大値が10、最小値が1であるとき、定数a、bの値を求めよ。
教えてください。

「高校1年、数Ⅰ 平方関数です。 aは正の」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 答えが、a=2、b=−3 と書いてました。
    補足遅くなりすみません。

      補足日時:2019/11/25 23:14
  • すみません、答え a=1 b=5でした。
    あってます。

      補足日時:2019/11/25 23:16

A 回答 (3件)

No.1 です。


ああ、ごめん。問題文に「a は正の定数」って書いてあるね。

だったらもっと簡単だ。
#1 の a>0 のところだけを考えればよい。
一応書き直しておきます。

平方完成すれば
 y = ax^2 - 4ax + b = a(x - 2)^2 - 4a + b
従って、このグラフは、a>0 なので
・下に凸の放物線
・頂点は (2, -4a + b)
・軸は x=2
ということが分かります。

x の定義域が 0≦x≦5 なので、頂点はこの範囲に含まれます。
なので、x=2 のとき最小値になります。
また、軸 x=2 は x の定義域の「左寄り」ですから、 x=5 のときに最大になることも分かります。

以上より、x=2 のとき最小値なので
 -4a + b = 1
x=5 のとき最大になるので
 5a + b = 10
従って、
 a = 1, b = 5
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「a は正の定数」とありますから、


問題の式の最小値は 頂点の y 座標になります。
頂点の x 座標は x=2 ですから、最大値は x=5
のときの y の値になります。
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>数Ⅰ 平方関数です。



って書いてあるじゃないの。
平方完成すれば

y = ax^2 - 4ax + b = a(x - 2)^2 - 4a + b

だから、このグラフは
・a>0 なら下に凸、a<0 なら上に凸の放物線、a=0 なら y 軸に平行な直線
 (最大値、最小値が存在するということは a≠0 ということが分かります)
・放物線の場合には、頂点は (2, -4a + b)
・放物線の場合には、軸は x=2
ということが分かります。

ちゃんと、a<0 のときのことも考えてね。

x の定義域が 0≦x≦5 なので、頂点はこの範囲に含まれます。
なので、x=2 のとき
・a>0 なら最小値
・a<0 なら最大値
になります。
また、軸 x=2 は x の定義域の「左寄り」ですから、最大または最小は x=5 のときになることも分かります。

a>0 のとき、x=2 のとき最小値なので
 -4a + b = 1
x=5 のとき最大になるので
 5a + b = 10
従って、
 a = 1, b = 5

a<0 のとき、x=2 のとき最大値なので
 -4a + b = 10
x=5 のとき最小になるので
 5a + b = 1
従って、
 a = -1, b = 6

以上より
 (a, b) = (1, 5) または (-1, 6)
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