ｘ,z:実数、Rx={z:z-xが有理数} x,y:実数に対してRx,Ryは交わらないか一致 の証明

z∈Rx⋂Ry　とすると　ｘ∈Rx,ｚ∈Ryだから　ｗ∈Rxならばｗ∈Ry　したがってRx⊂Ry
同様にして　Ry⊂Rxもいえるので　Rx=Ry　

という証明が　ルベーグ積分入門（伊藤著）P49　にあったのですが、よくわからず
自分なりに以下のように考えてみたのですが、これでいいのかどうか、自信がありません。
どなたか、添削いただけるとありがたいです。

仮定より　z∈Rx,z∈Ryで　z∈Rxはz-xが有理数　また　z∈Ryより　z-yが有理数　
よって　x-y=(z-y)-(z-x)も有理数
∀w∈Rxならば　w-xが有理数
w-y=(w-x)+(x-y)は有理数といえるので　ｗ∈Ry
したがってRx⊂Ry
同様にしてRy⊂Rx　よって　Rx=Ry

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/27 00:26

言葉遣いにやや違和感があって、さらっと読めないけれど、

話の流れはそれでいいんじゃないでしょうか。

もっとシンプルに、
x〜y ⇔ x-y∈ℚ が ℝ 上の同値関係になるから ℝ/〜 は類別である
くらいでもよさげな気もしますが。

この回答へのお礼

回答いただきありがとうございます。
同値関係から類別を導くことも、群論あたりで習ったような気もしていましたが
すでに、ノートなどもどこかにいってしまい、いろいろ調べてもわからずにいたので助かります。
おかげさまで、理解がすすみました。ありがとうございました。

お礼日時：2019/11/27 07:21