A 回答 (7件)
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No.7
- 回答日時:
ド・モアブルの定理により、(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)だから(証明済)、展開などという原始的な作業をすることは全くの無意味。
証明は、例えば、下記を見よ。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%BB …
No.6
- 回答日時:
三角関数の加法定理から
(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=cosαcosβ-sinαsinβ + i(sinαcosβ+cosαsinβ)
=cos(α+β)+isin(α+β)
つまり複素数の掛け算では偏角は足し算になる。
だから8乗は偏角を8倍にする。単純明瞭。
No.4
- 回答日時:
2倍角の公式
sin2θ=2sinθcosθ ・・・・・①
cos2θ=cos^2θ-sin^2θ ・・・・・②
加法定理
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ ・・・・・③
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ ・・・・・④
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ・・・・・⑤
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ・・・・・⑥
を使えばよい
(cosθ+isinθ)^2 2乗を展開
=cos^2θ+2isinθcosθ+i^2sin^2θ i^2=-1
=cos^2θ-sin^2θ+i・2sinθcosθ ①、②を使う
=cos2θ+isin2θ ・・・・・(ア)
(cosθ+isinθ)^3
=(cosθ+isinθ)(cosθ+isinθ)^2 (ア)を使う
=(cosθ+isinθ)(cos2θ+isin2θ) 展開
=cosθcos2θ+icosθsin2θ+isinθcos2θ+i^2sinθsin2θ i^2=-1
=cosθcos2θ-sinθsin2θ+i(sinθcos2θ+cosθsin2θ) ⑤、③を使う
=cos(θ+2θ)+isin(θ+2θ)
=cos3θ+isin3θ ・・・・・(イ)
(cosθ+isinθ)^4
=(cosθ+isinθ)(cosθ+isinθ)^3 (イ)を使う
=(cosθ+isinθ)(cos3θ+isin3θ) 展開
=cosθcos3θ+icosθsin3θ+isinθcos3θ+i^2sinθsin3θ i^2=-1
=cosθcos3θ-sinθsin3θ+i(sinθcos3θ+cosθsin3θ) ⑤、③を使う
=cos(θ+3θ)+isin(θ+3θ)
=cos4θ+isin4θ
これを繰り返していけば
z^8=r^8(cos8θ+isin8θ)
になることがわかる・・・・
No.3
- 回答日時:
>出来れば、地道に{r(cosθ+isinθ)}^8を展開した過程の数式を載せて頂けないでしょうか?
cos と sin の 8倍角公式を書き下して欲しいという話ですね?
それは、まったく勧めません。不可能ではないけれど、
計算間違いが起こりがちなだけで、その式を得ることに何の応用もない。
そういう無意味な計算を避けるための「ド・モアブルの定理」なんです。
No.2
- 回答日時:
ド・モアブルの定理を使ってよいのであれば、
z^8 = { r(cosθ + i sinθ) }^8 = (r^8)(cosθ + i sinθ)^8
= (r^8)(cos8θ + i sin8θ) ;ド・モアブルの定理より (cosθ + i sinθ)^8 = cos8θ + i sin8θ
だというだけのことです。
ド・モアブルの定理を証明せよ、またはもっと素朴に計算せよという話なら、
オイラーの公式 e^(iθ) = cosθ + i sinθ を使って
(cosθ + i sinθ)^8 = (e^(iθ))^8 = e^(8iθ) = cos8θ + i sin8 です。
(e^(iθ))^8 = e^(8iθ) は、指数法則ですね。
そのオイラーの定理を証明しろって?
その辺まで掘り下げると、cos, sin, e^ をどのように定義したかという
形式的な話が中心になってきてしまいます。
個人的には、cos, sin, e^ をそれぞれべき級数で定義する流儀が好きですが、
その流儀では、オイラーの公式は級数の係数比較から「ほぼ自明」です。
No.1
- 回答日時:
z^8={r(cosθ+i sinθ)}^8=r^8*(cosθ+i sinθ)^8
(指数法則 (a*b)^n=a^n*b^nを使った)
ここでド・モアブルの定理より
(cosθ+i sinθ)^8=cos8θ+i sin8θ
となるから
z^8=r^8*(cos8θ+i sin8θ)
となる。
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出来れば、地道に{r(cosθ+isinθ)}^8を展開した過程の数式を載せて頂けないでしょうか?
どうかよろしくお願い致します。
返信ありがとうございます。
あれドモアブルさんは展開して導いたのではないのですか?
どうやって簡単に導ける方法(すなわちドモアブル)を発見したのでしょうか?
なるほど
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が仮定して証明できたため、地道に計算しなくてもよかったのですね