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z=r(cosθ+isinθ) (r>0)とおくと
ド・モアブルの定理より
z^8=r^8(cos8θ+isin8θ)とできるそうですが、
どうやって展開したのでしょうか?
わかりやすく簡単に式か図形を使って解説して頂けますか?

質問者からの補足コメント

  • 出来れば、地道に{r(cosθ+isinθ)}^8を展開した過程の数式を載せて頂けないでしょうか?
    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2019/11/29 20:04
  • 返信ありがとうございます。
    あれドモアブルさんは展開して導いたのではないのですか?
    どうやって簡単に導ける方法(すなわちドモアブル)を発見したのでしょうか?

      補足日時:2019/11/29 20:19
  • なるほど
    https://mathtrain.jp/moivre
    が仮定して証明できたため、地道に計算しなくてもよかったのですね

      補足日時:2019/11/29 20:25

A 回答 (7件)

ド・モアブルの定理により、(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)だから(証明済)、展開などという原始的な作業をすることは全くの無意味。



証明は、例えば、下記を見よ。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%BB …
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三角関数の加法定理から


(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=cosαcosβ-sinαsinβ + i(sinαcosβ+cosαsinβ)
=cos(α+β)+isin(α+β)

つまり複素数の掛け算では偏角は足し算になる。
だから8乗は偏角を8倍にする。単純明瞭。
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数学的帰納法で証明するより、


オイラーの公式がいいと思うんだがなあ...
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2倍角の公式


sin2θ=2sinθcosθ          ・・・・・①
cos2θ=cos^2θ-sin^2θ       ・・・・・②
加法定理
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ    ・・・・・③
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ     ・・・・・④
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ    ・・・・・⑤
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ    ・・・・・⑥
を使えばよい


(cosθ+isinθ)^2                2乗を展開
=cos^2θ+2isinθcosθ+i^2sin^2θ        i^2=-1
=cos^2θ-sin^2θ+i・2sinθcosθ         ①、②を使う
=cos2θ+isin2θ  ・・・・・(ア)          

(cosθ+isinθ)^3
=(cosθ+isinθ)(cosθ+isinθ)^2              (ア)を使う
=(cosθ+isinθ)(cos2θ+isin2θ)              展開 
=cosθcos2θ+icosθsin2θ+isinθcos2θ+i^2sinθsin2θ    i^2=-1
=cosθcos2θ-sinθsin2θ+i(sinθcos2θ+cosθsin2θ)     ⑤、③を使う
=cos(θ+2θ)+isin(θ+2θ)
=cos3θ+isin3θ  ・・・・・(イ)

(cosθ+isinθ)^4
=(cosθ+isinθ)(cosθ+isinθ)^3              (イ)を使う
=(cosθ+isinθ)(cos3θ+isin3θ)              展開 
=cosθcos3θ+icosθsin3θ+isinθcos3θ+i^2sinθsin3θ    i^2=-1
=cosθcos3θ-sinθsin3θ+i(sinθcos3θ+cosθsin3θ)     ⑤、③を使う
=cos(θ+3θ)+isin(θ+3θ)
=cos4θ+isin4θ


これを繰り返していけば
z^8=r^8(cos8θ+isin8θ)
になることがわかる・・・・
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>出来れば、地道に{r(cosθ+isinθ)}^8を展開した過程の数式を載せて頂けないでしょうか?



cos と sin の 8倍角公式を書き下して欲しいという話ですね?
それは、まったく勧めません。不可能ではないけれど、
計算間違いが起こりがちなだけで、その式を得ることに何の応用もない。
そういう無意味な計算を避けるための「ド・モアブルの定理」なんです。
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ド・モアブルの定理を使ってよいのであれば、


z^8 = { r(cosθ + i sinθ) }^8 = (r^8)(cosθ + i sinθ)^8
= (r^8)(cos8θ + i sin8θ) ;ド・モアブルの定理より (cosθ + i sinθ)^8 = cos8θ + i sin8θ
だというだけのことです。

ド・モアブルの定理を証明せよ、またはもっと素朴に計算せよという話なら、
オイラーの公式 e^(iθ) = cosθ + i sinθ を使って
(cosθ + i sinθ)^8 = (e^(iθ))^8 = e^(8iθ) = cos8θ + i sin8 です。
(e^(iθ))^8 = e^(8iθ) は、指数法則ですね。

そのオイラーの定理を証明しろって?
その辺まで掘り下げると、cos, sin, e^ をどのように定義したかという
形式的な話が中心になってきてしまいます。
個人的には、cos, sin, e^ をそれぞれべき級数で定義する流儀が好きですが、
その流儀では、オイラーの公式は級数の係数比較から「ほぼ自明」です。
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z^8={r(cosθ+i sinθ)}^8=r^8*(cosθ+i sinθ)^8


(指数法則 (a*b)^n=a^n*b^nを使った)

ここでド・モアブルの定理より
(cosθ+i sinθ)^8=cos8θ+i sin8θ
となるから
z^8=r^8*(cos8θ+i sin8θ)
となる。
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