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正規分布の形をしたグラフの面積を求めたいのですが, 今わかっている情報としましては, ピークの値, 半値全幅(FWHM)がわかっているのですが, これだけの情報で面積って求められると思うのですが, 一
般的に正規分布の形をした関数というのはどのような式で表されるのでしょうか.

最初はwikipedeiaに載っている(https://ja.wikipedia.org/wiki/正規分布)確率密度関数かと思ったのですが, これはよくよく考えるとその定義から面積は1になります.

例えば半値全幅が10でピークの値が1000の正規分布の面積が1になるわけないと思うのですが, 一般的に正規分布の形をした関数というのはwikiの確率密度関数とどこがどう違うのでしょうか.

A 回答 (4件)

なにか、考え違いをしていませんか?



たとえば
・サイコロを30回振ったら
 「1」の目の出る確率は(振る回数に関係なく)1/6
 「1」の目の出る平均的な回数(つまり期待値)は 5 回
ということです。

>例えば半値全幅が10でピークの値が1000の正規分布の面積

「確率」でいえば、常に「全体が1」、確率分布の「区間範囲の値」は常に1以下。
「度数」でいえば、全事象の総数が「全体の度数」であって、分布の「区間範囲の値」(つまり面積)は「全体の度数」にその確率をかけたもの。
お示しの例は、「確率分布」ではなく「度数分布」ですよね? 「確率分布」に「度数の総数」をかければ「度数分布」になります。

「確率」と「度数」(あるいは「場合の数」)を区別して考えれば、お示しのような疑問は湧かないと思うのですが?
それとも、ご質問の趣旨はそういうこととは違うのですか?
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変数xが正規分布する形の関数f(x)は、一般的に


f(x) = A*exp{-α(x-β)^2}       (1) 
ここで A、α、β(>0)は定数、と表されます。

この関数はx=βで最大値をとり、そのピーク値はAです。
f(x)は変数x=βを中心にその+と-の方向で対称的に減少します。
データから(1)式を得るにはカーブフィッティングを行います。

簡単化の為にx-β=X、f(x)をF(X)と置きます。そうすると(1)式は
F(X) = A*exp{-αX^2}          (2)
となります。

f(x)のピーク値もF(X)のピーク値も同じで、その半値はA/2です。

したがって半値での(2)式は次の様になります。
 A/2 = A *exp{-αX^2} (3)

これより
 1/2 = exp{-αX^2}ですから、Xに付いて解いて、X = ±√(Ln2/α)

半値全幅FWHM(=Hf)は、したがって次の様になります。
 Hf = 2√(Ln2/α)   

ピーク値A、半値全幅Hf = 2√(Ln2/α)が分かれば(1)式は
(Hf^2/4=Ln2/α→α= 4Ln2/Hf^2 を使えば)
 f(x) = A*exp{-(4Ln2/Hf^2 )(x-β)^2} (4)
となります。
 
面積Sは(4)式を-∞から+∞の範囲で積分すれば得られます。
 S = ∫f(x)dx =∫F(x)dX = A∫exp{-(4Ln2/Hf^2 )X^2}dX
積分範囲[-∞:+∞〕です。簡単です。計算してください。

元の分布を正規化して確率密度関数にしてしまえば、始めの分布の形は
隠れて見えなくなります。
例えば、高さはAから 1/√(2πσ^2)と比例的に変化してしまいます。
幅もその高さでの面積が1に成るように縮小または拡大されます。
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正規分布の確率密度関数は、その Wikipedia に載っている式


f(x) = {1/√(2πσ^2)}e^{-(x-μ)^2/(2σ)^2}
で合っています。

f のピークは、 f(μ) = 1/√(2πσ^2)。

「半値全幅」というのは、 f(x) = (1/2)f(μ) となる x = a,b (a < b)
に対する b-a のことでしょうか? だとすれば、
e^{-(x-μ)^2/(2σ)^2} = 1/2 より x-μ = ±2σ√(log 2) であり
(半値全幅) = 4σ√(log 2) だと判ります。

4σ√(log 2) = 10 となるのは σ = 10/(4√(log 2))≒3.0028060 のとき、
1/√(2πσ^2) = 1000 となるのは σ = 1/(1000√(2π)) ≒ 0.00039894228 のとき。
このふたつの σ が一致しないということは、
半値全幅が 10 でピークの値が 1000 の正規分布は存在しないということです。

あなたが言う「一般的に正規分布の形をした関数」というのは、
正規分布の確率密度関数ではないという結論になります。

その正規分布っぽい感じがする関数の定義を書いてくれれば、
これ以上詳しい話が可能になるでしょう。
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一般的に正規分布の形をした関数は 下記が参考になるかも。


https://bellcurve.jp/statistics/blog/15344.html
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