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線形代数の問題についです。
UをR上のn次元ベクトル空間、
φ={u_1, u_2, … , u_n}をUの基底とする。数ベクトル空間R^nの標準基底を{e_1, … , e_n}とする。このとき、線形写像Φ_u : U → R^nを
Φ_u(u_i) = e_i (i=1,2,…,n)
で定めるとき、Φ_uの逆写像Φ_U^-1 : R^n → Uを与えろ。ただし、aがR^nに属するに対して、Φ_U^-1(a)を具体的に書け。
とあるのですが、標準基底からUの基底に逆写像を与えられるものなのでしょうか?とりあえず書いて見たのですが、内容をあまり理解していないと感じるので、間違えている箇所がございましたら指摘してほしいです。お願いしますm(_ _)m

「線形代数の問題についです。 UをR上のn」の質問画像

A 回答 (2件)

φ_u の逆写像 (φ_u)^-1 は、R^3 から U への線形写像で、


(φ_u)^-1 (e_i) = u_i (i=1,2,…,n) となるようなもののことです。
あなたの答案で、十分具体的に書けていると思いますが...

それとも、「具体的に書く」というのは、表現行列を書き出すこと
でも指しているのでしょうか? だとすれば、簡単です。
Uの基底を { u_i }、R^n の基底を { e_i } とした際の
(φ_u)^-1 の表現行列は、n次の単位行列になります。
成分計算で確認してみてください。

R^3 から U へ (φ_u)^-1 以外に何か同型写像がある場合には、
それを f として U に基底 { f(e_i) } が入れられますから、
u_i の基底 { f(e_i) } 上での成分表示を知ることができれば
U の基底を { f(e_i) }、R^3 の基底を { e_i } とした
(φ_u)^-1 の表現行列を求めることができます。
その行列は、第i行j列成分が uj の f(e_i) 成分になっています。

この行列は、同型 f にもとづく、(φ_u)^-1 の { e_i } 上の表現行列
とでも呼ぶべきものでしょう。 f の存在に無自覚に、唐突に
これを持ち出してくる参考書などがあって、困ったものだと思いますが。
あなたは、U と R^3 の区別がついていますか?
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Φ_u が 1対1写像であれば逆写像が作れますね.



ところで, 「Φ_U^-1(a)を具体的に書け」ってあるんだけど, それで「具体的」に書いてあるといえるんでしょうか?
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