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高校数学なのですがsinθcosθtanθの単位円が分かりません。わかりやすく説明してくれませんか?

A 回答 (5件)

tanについては半径をx=1のライン(紫)まで延長します


このラインとの交点をQ',P'とすれば
tanα=Q'のy座標
tanθ=P'のy座標
となります
延長によってできた2つの直角三角形もまた合同ですから
それぞれの高さは等しいです
従って、Q'のy座標-0=0-P'のy座標が成り立ちます
すなわち、tanα=-tanθです

これを利用して
「tanα=1/2のとき tan(180-α)を求めよと言われたなら」
180-α=θとおけるので
tan(180-α)=tanθ=-tanα=-1/2が単位円から求められます
「高校数学なのですがsinθcosθtan」の回答画像5
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①x軸の正方向から反時計回りに角度θとなる半径を描き、この半径と単位円の円周の交点をPとする


②このときPの座標がP(cosθ、sinθ)となる…①
つまりx座標がcosで、y座標がsinとなります
これが単位円の仕組みです

これを利用して、図形的に関連する角度の三角比を調べることが出来ます
例えば、問題文にsinαやcosαなどの値が示されているとします
このとき、単位円を利用すれば、αに関連する半径OQの位置は下図(赤)のようになります
そして①から、Qの座標(cosα、sinα)です
このとき、180°-α=θ(⇔θ+α=180°)であるθの三角比を求めよと言われれば、
画像のように青の半径とPを描きます
①によりP(cosθ、sinθ)です
また、x軸=180°を青線が分割しているので、緑の角度はαです(→緑+青θ=180°⇔緑=α)

図を見ると、青の直角三角形と赤の直角三角形は合同だからその高さは等しいので
P,Qのy座標は等しいです
という事で
高さ=y=sinα=sinθです
また、底辺も等しいですから、P,Qのx座標がプラスマイナス逆であることに注意して
底辺=Qのx座標-原点のx座標=原点のx座標-Pのx座標
つまりcosα=-cosθ という事が分かります

もし、問題文が「αが鋭角でsinα=1/2のときsin(180-α)を求めよ」ということものなら
θ=180-αとおけばこれを利用できるので
sin(180-α)=sinθ=sinα=1/2と 単位円から答えが求まります

同様に、問題文が「αが鋭角でcosα=2/3のときcos(180-α)を求めよ」ということものなら
θ=180-αとおいて
cos(180-α)=cosθ=-cosα=-2/3 が求まるのです

この他にも図形の合同などを利用すれば、90°+αの三角形なども求めることが出来ます

tanについては次の回答に回します
「高校数学なのですがsinθcosθtan」の回答画像4
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半径1の円。

θとsin、cosの関係は図の通り。
「高校数学なのですがsinθcosθtan」の回答画像3
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単位は無いよ。



三角関数は比率の話なんだ。
ぶっちゃけて、半径1でも10でも100でも同じ。
なぜなら【比率】だから。

それでも、あえて定義するなら、中心座標(0,0)の半径1の円。
「高校数学なのですがsinθcosθtan」の回答画像2
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単位円は半径が1で通常は座標の原点(0,0)を中心とする円のこと。



そのX軸から反時計回りで角度θの,原点からの直線が円と交わる点のY座標の値がsinθ,X座標の値がcosθ,tanθ=sinθ/cosθ。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D …

の「単位円と三角関数との関係」の図を見ると分かりやすいかもしれません。
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