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(2)でなぜ二次関数のグラフが二つあるようなグラフになるのかわかりません
教えてください

「(2)でなぜ二次関数のグラフが二つあるよ」の質問画像

質問者からの補足コメント

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    「(2)でなぜ二次関数のグラフが二つあるよ」の補足画像1
      補足日時:2019/12/07 06:09

A 回答 (2件)

先ずは小手調べ


y=x²+1と言うグラフをイメージ→頂点(0.1)のグラフ
これに2xと言う項を加えることを考える
y=x²+1+2x=(x+1)²+0となるから、頂点が(-1,0)に平行移動する
けれでも、放物線の開き具合とか、下に凸と言うのは変わらない
これは、この式に限った話ではなく、x²の項と定数項しかない関数にxの項を付け加えると、そのグラフの頂点は平行移動しそうだという事が推測できる

ということで画像の問題
絶対値のない項だけを考える
→x²+a²-2a
そこでf=x²+a²-2aのグラフを描くと頂点(0,a²-2a)下に凸の放物線
題意は、これに-2(a-1)|x|が付け加えられたものである
絶対値をはずせば、-2(a-1)xまたは+2(a-1)xの2通りを加えたものである
これらを加えると前者は
f(x)=x²+a²-2a-2(a-1)x
後者は
f(x)=x²+a²-2a+2(a-1)x
だから、異なる項を加えられた両者のグラフの頂点は別々の位置へ平行移動することになり
今回の関数では頂点のx座標が異なる2つの放物線が描けることになります。(今回は頂点のy座標は一致です)
ただし、前者になるのはx≧0の範囲だけ
後者になるのはx<0の範囲だけなので、この範囲に注意して2つの放物線を別々に描くと画像のような形となります。

要するに、f=x²+a²-2aに加えるxの項がこの問題では2通りあるので、平行移動が2通りとなり
放物線が2つ(ふたつっぽく)となるのです。
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f(x)=x²-2(a-1)|x|+a²-2a


|x| がf(x) の式の中にあるので、この絶対値をはずすために、[1] x ≧0 のときと、[2] x<0 のときの場合分けが必要です。

[1] x ≧0 のとき、f(x)=x²-2(a-1)x+a²-2a
[2] x<0 のとき、f(x)=x²+2(a-1)x+a²-2a

[1]、[2] でf(x) の式は異なりますので、y=f(x) のグラフは、x=0(y軸)のところで、
[1] と[2] のグラフをつないだものになります。したがって、二次関数のグラフが二つあるようなグラフになります。

(2)の問題では、y=f(x) のグラフとx軸で囲まれた部分の面積を求めますが、(1)で確認したよ
うに、y=f(x) のグラフはy軸に関して対称なので、x≧0の部分だけを考えて、x≧0の部分の面積を
求めて2倍しています。
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