数学の底の変換公式について教えてください。 (5)の式の形は整数×分数で (6)の式の形は分数×分数

数学の底の変換公式について教えてください。
(5)の式の形は整数×分数で
(6)の式の形は分数×分数と形が(5)と(6)で違っている理由が分かりません。(5)も分数×分数の形ではいけないのでしょうか。ご回答よろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： エビス 回答日時： 2019/12/08 20:12

(5)で分数にしてもlog₃３＝１

No.5 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/12/09 20:33

(5) log₃5•log₅9

=log₅5/log₅3 •log₅9
=log₅9/log₅3
=log₅3²/log₅3
=2log₅3/log₅3
=2

(6) log₄5•log₅8
=log₅5/log₅4 •log₅8
=log₅8/log₅4
=log₅2³/log₅2²
=3log₅2/2log₅2
=3/2

という手もある。
なんでもいいから底を統一しておいて真数を素因数分解すればよい。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/12/08 22:48

(5)も分数形にできるけど

log[3]5=log[3]5/log[3]3=log[3]5
だから無意味

(6)を(5)と同じ戦術でやってもうまく行く

log[4]5・log[5]8=log[4]5・(log[4]8/log[4]5)=log[4]8=log[2]8/log[2]4=3/2

要は簡単に計算できるlogを残し、ややこしいlogは通分で消すという戦術。
決まったやり方など無いです。

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/12/08 20:32

整数×分数って何を言っているか分からなかったけど、分母、分子で底変換を表記することで合っているかな？

(6)が分母、分子の形になっているのは、log[4]5の底とlog[5]8の真数が2の乗数なので、2を底とする底変換をしている。
(5)はlog[3]5の底とlog[5]9の真数が3の乗数なので、3で底とする底変換のほうが計算が楽だから。
けど、別に(6)と同じような計算をしても悪いわけではない。

例えば、2を底とする底変換で(5)を計算すると、

log[3]5×log[5]9
=(log[2]5 / log[2]3)×(log[2]9 / log[2]5)
=log[2]9 / log[2]3
=log[2]3^2 / log[2]3
=2log[2]3 / log[2]3
=2

と答えは同じになる。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2019/12/08 20:11

＞(5)も分数×分数の形ではいけないのでしょうか

良いですよ。但し その必要が無いです。
見た通り (5) は 9=3² ですから 底を 3 にした方が 計算が楽になります。
log(3)5 を 「1分の log(3)5」 と考えたら 分数と同じ事ですよね。

(6) は 4=2² , 8=2³ ですから、底を 2 にしているのです。