線形代数の問題についてです。 VをR上のm次元ベクトル空間とし、β = {v_1, v_2, …,

線形代数の問題についてです。
VをR上のm次元ベクトル空間とし、β = {v_1, v_2, …, v_m}をVの基底とする。f: U → V を線形写像とし、Aをφ,βに関するfの表現行列とする。
そこで、F:= Φ_v ⚪︎ f ⚪︎ Φ_u^-1: R^n → R^m について、R^nとR^mの標準基底に関するFの表現行列を求めよ。
という問題なのですが、表現行列の証明がよく分かっていないので、とりあえず書いてみたのですが、すごくむずかしいので、数学に詳しいかたに間違いを指摘してもらいたいです。どうかお願いします！
どうかお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/08 20:31

φ = { u_i } が U の基底なのですね？ 前の質問の続きかな。

各 f(u_i) は V の元なので、基底 β 上に f(u_i) = Σ[j=1..m](a_i,j)v_j
と成分表示されます。この a_i,j を使って、U の元 u=Σ[i=1..n](x_i)u_i の
f による像は f(u) = Σ[i=1..n](x_i)f(u_i) = Σ[i=1..n](x_i)Σ[j=1..m](a_i,j)v_j
= Σ[j=1..m]{Σ[i=1..n](a_i,j)(x_i)}v_j ですから、
f(u) の β 上の成分表示を f(u) = Σ[j=1..m](y_j)v_j とすれば
y_j = Σ[i=1..n](a_i,j)(x_i) と書けます。この一次変換を表す行列が
f の基底 φ,β 上での表現行列です。

ちゃんと書かれてはいないけれど、前の質問からの流れからおそらく
Φ_u(u_i) = e_i, { e_i } は R^n の標準基底、
Φ_ｖ(ｖ_j) = ｂ_j, { ｂ_j } は R^ｍ の標準基底という話なのでしょう。
上記の結果を使って計算すると、
F は R^n の元 x = Σ[i=1..n](x_i)e_i を
F(x) = Σ[j=1..m](y_j)b_i, y_j = Σ[i=1..n](a_i,j)(x_i) へ移します。
f の φ,β 上での表現行列と
F の { e_i },{ b_j } 上での表現行列は同じ行列だということです。
A の j 行 i 列成分が a_i,j だというわけです。

この回答へのお礼

ありものがたりさん。
連続で素晴らしい回答をありがとうございました。早速理解できるよう、きちんと吟味してみます！
本当にありがとうございました！！

お礼日時：2019/12/08 23:29