数学の問題です 座標表面上に円C︰x^2＋y^2－4x＝0と 直線l︰4x－3y＋a＝0（aは正の定

数学の問題です
座標表面上に円C︰x^2＋y^2－4x＝0と
直線l︰4x－3y＋a＝0（aは正の定数）があり、円と直線は接している。s＞0、t＞0とする。点P（s,t）を直線lとx軸から等距離となるようにとる。sをtを用いて表せ。また、点pを中心とし、x軸に接する円Kが円Cに外接するときsとtを求めよという問題で、なぜ写真のように
t＜4/3s＋2/3となり、4s－3t＋2＝5tとなるのでしょうか？？また、
√（2t－1/2－2）^2＋t^2＝t＋2は√の中がどちらも2乗されているのでそのまま√をはずして、（2t－1/2－2）＋t＝t＋2ではダメなのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• ③で5はどこからきたのでしょうか？

    補足日時：2019/12/09 17:33

• なぜここで点と直線の距離が使われるのでしょうか？また、絶対値はなぜつくのでしょうか？
  何度もすみません。

    補足日時：2019/12/09 20:01

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/12/09 20:41

「点P（s,t）を直線 lとx軸から等距離となるようにとる。

」と書かれています。
ｘ軸からの距離は、|t| です。問題に t>0 と書かれていますので、この絶対値は最初からつけなくても良いです。
点Pと直線ｌとの距離は、公式を使います。(公式に絶対値が入っています)
一般的に、点P(s,t) と直線 ax+by+c=0 との距離ｄを求める公式は、
ｄ＝|as+bt+c|/√(a²+b²)
です。
この問題では、直線の式が、4x-3y+2=0 なので、
d=|4s-3t+2|/√{4²+(-3)²}=|4s-3t+2|/5
これがx軸からの距離|t| に等しいので、
|4s-3t+2|/5=|t|
となります。

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/12/09 17:49

点と直線の距離を求める公式の分母の

√{4²+(-3)²}=√25=5
です。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/12/09 17:12

直線ｌ：4x-3y+2=0

y=(4/3)x+2/3

y<(4/3)x+2/3……①
不等式① は、直線ｌの下側の領域を表します。よって、直線ｌの下側の領域にある点ならば、その点の座標を①の不等式に代入すると成り立ちます。点P(s,t) は直線ｌの下側にある点なので、その座標を①に代入すると成り立ちます、
よって、
t<(4/3)s+2/3
3t<4s+2
4s-3t+2>0……②

|4s-3t+2|/5=|t|……③

条件より、t>0 ,また、②が成立しているので③は絶対値がはずれて、
(4s-3t+2)/5=t
4s-3t+2=5t
となります。

ルートがはずれるのは、ルートの中、全体が2乗の形になっている場合です。
√(x+y)²=x+y (ただし、x+y≧0 のとき)
√(x²+y²)≠x+y
それぞれが2乗の形をしている場合は、ルートをはずすことはできません。