f(x)<0, f′(x)>0のときlim_{x→∞} f(x) は収束しますか？ 証明とともに教え

f(x)<0, f′(x)>0のときlim_{x→∞} f(x) は収束しますか？
証明とともに教えてください！

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/11 02:46

なんちゃって証明：

数列 f(n) を考えてみる。
仮定により f(n) は上に有界な増大列なので収束する。
f が単調増加なことから、任意の実数 x に対して
f([x]) ≦ f(x) < f([x]+1) が成り立つ。
x→∞ とするとき、f([x]) と f([x]+1] は lim[n→∞] f(n) へ収束するから、
ハサミウチの定理により lim[x→∞] f(x) も同じ極限へ収束する。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/12/11 01:43

たぶん「全ての x に対して f(x)<0 かつ f'(x)>0」なら収束するんじゃないかな.