高校数学 数列 帰納法

1、年齢1つ1つの個体から始めて、以下の操作1、2をｎ回行ったあとの全固体の年齢数の合計をSnとする
操作1、年齢1の各個体から年齢0のk個の個体を発生させる。ただしk>1とする。
操作2、全個体の年齢をそれぞれ1増やす。
(1)k=2のときS4を求めよ
(2)操作1、2をｎ回行ったあとの平均年齢をAnとするとき、An<k/k-1

2、(1) (a+1)^5の展開式を求めよ
(2) (1)を用いて6^5-1は5^2の倍数であることを
求めよ
(3) 任意の自然数nに対して、「6^5^n-1は5^(n+
1)の倍数である」が成立することを数学的帰
納法を用いて証明せよ

途中経過も込みで教えてください。よろしくお願いします…！

質問者からの補足コメント

• 

  全てでなくてもわかるところだけでも教えてください

    補足日時：2019/12/22 20:48

No.1 ベストアンサー 回答者： 20170130 回答日時： 2019/12/24 15:05

1(1)

定義通りに求めていけばできる

1(2)
n回の操作後の個体数を N(n) と表すと
A(n) = S(n)/N(n)
S(n) = S(n-1) +N(n) ：n回の操作後 N(n) が1才ずつ年をとるので S(n) になる

N(n) = 1 + k + k^2 +....+k^n
S(n) = 1*(n+1) + k*n + (k^2)*(n-1) +.......+(k^n)*1
S(n-1) = 1*n + k*(n-1) + (k^2)*(n-2) +.......+(k^(n-1))*1

S(n)-k*S(n-1) = n+1 > 0 これを変形していく　S(n-1) = S(n) - N(n) なので
(1-k)*S(n) + k*N(n) > 0
k*N(n) > (k-1)*S(n)
k/(k-1) > S(n)/N(n) = A(n)

2(1)
二項定理等で展開するだけ

2(2)
展開した結果から容易に示すことができるはず

2(3)
一般的な表記では　6^5^n は 6^5n になるはずだが
n=2 で
(6^10)-1 = 60466175 = 2418647*25 となり 5^3=125の倍数にならない

そこで、証明したいことを次のように解釈した
（違っているのであれば、誤解が生じない表記の補足等お願いします）
6-1 は 5 の倍数
(6^5)-1 は 5^2 の倍数
((6^5)^5)-1 は 5^3 の倍数
(((6^5)^5)^5)-1 は 5^4 の倍数

この証明であれば
((((6^5)^5)^...)^5)-1 ［k回繰り返し］が 5^k の倍数のとき
(((((6^5)^5)^...)^5)^5)-1 ［k+1回繰り返し］が 5^(k+1) の倍数であることを示せばよい

((((6^5)^5)^...)^5)［k回繰り返し］をA とすると
A-1 が 5^k の倍数のとき、(A^5)-1 が 5^(k+1)の倍数であることを示す

(A^5)-1 = (A-1)(A^4+A^3+A^2+A+1) 、A-1 が 5^k の倍数より
(A^4+A^3+A^2+A+1) が5の倍数であることを示せればよい
Aが5で割ると1余る数 なので、A^2,A^3,A^4 も5で割ると1余る数
したがって
(A^4+A^3+A^2+A+1) ≡1+1+1+1+1≡0 ［mod 5］
(A^4+A^3+A^2+A+1) は5の倍数

この回答へのお礼

助かりました！ご丁寧にありがとうございました…！

お礼日時：2019/12/25 22:40