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画像の式のフーリエ級数展開を求める時は
直交するため0となり、フーリエ級数展開は0というか、作れないのでしょうか?
https://www.yukisako.xyz/entry/fourier-transform

「画像の式のフーリエ級数展開を求める時は 」の質問画像

A 回答 (3件)

画像の式のフーリエ級数展開?


sin x をフーリエ展開しようって話なのかな?

関数 f(x) のフーリエ級数展開は
f(x) = (a_0)/2 + Σ[n=1→∞]{ (a_n)(cos nx) + (b_n)(sin nx) },
a_n = ∫[-π,π]f(x)(cos nx)dx,
b_n = ∫[-π,π]f(x)(sin nx)dx. です。
積分区間は、(-∞,+∞) でも良いには良いのですが、
通常は有限区間を使います。
a_0 が収束するような f(x) だけが展開の対象になるからです。

質問の画像は、f(x) = sin x の場合に b_2 = 0 になることを示しています。
f(x) = sin x の場合、a_1 = 1 を除くフーリエ係数が 0 になりますが、
全てが 0 になるわけではなく、sin x のフーリエ級数が sin x になるだけです。
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ある関数f(x); 0<x<aが直交する固有関数列φ_n(x)で級数展開できて



f(x)=Σ_{n=1}^∞ a_n φ_n(x)

と表せるものとする。固有関数はお互いに直交するため

<φ_n, φ_m>=∫_0^a φ_n(x) φ_m(x) dx = 0, n≠m

を満足する。そこでフーリエ係数a_nを求めるためにf(x)とφ_i(x)との内積をとると

<f,φ_i>=∫_0^a f(x) φ_i(x) dx =
∫_0^a Σ_{n=1}^∞ a_n φ_n(x) φ_i(x) dx =
Σ_{n=1}^∞ a_n ∫_0^a φ_n(x) φ_i(x) dx = (積分と総和が,ま,ほぼ工学的な問題が対象とする関数では成立するものとして)
=Σ_{n=1}^∞ a_n <φ_n(x) φ_i(x)>

ところがφは直交関数だから,この総和のうちn≠iの項はすべてゼロになるから,残るのはn=iの項だけだからΣは消えて

=a_i <φ_i(x) φ_i(x)>

になる。よってフーリエ係数a_iは

a_i=<f,φ_i>/<φ_i(x) φ_i(x)>

のように求めることができる。φ(x)は三角関数だったりベッセル関数だったりルジャンドル多項式だったり,問題ごとに異なる。
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周期関数f(t)の場合に限ってフーリエ変換すると


f(t)=∑[n=-∞~∞]asin(nt)と展開できると言う意味です。
sin(nt)が独立ベクトルなら、無限次元空間を表せるので、独立ベクトルの証しとして
∫[t=-∞~∞]sint・sin2tdt=0かつ∫[t=-∞~∞]sint・sintdt=1であれば
f(t)をベクトルasin(nt)で表せるという意味です。
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