No.3ベストアンサー
- 回答日時:
ああ、後半があるのか。
No.2 に書いたのは、A, B が正方行列である場合の話です。
A が正方行列でない場合にも、A^T A は正方行列になりますが、
(A^T A)^-1 が存在しても、A はそもそも正方行列でないので
A^-1 や (A^T)^-1 を考えることに意味がありません。
No.2
- 回答日時:
AB が正則であるとは、C(AB) = (AB)C = E となる行列 C が存在することです。
この C を行列 AB の逆行列と呼びます。(E は単位行列)
行列 M に対して CM = E であれば MC = E でもあること、また
MC = E であれば CM = E であることも知られています。
C が AB の逆行列であれば、行列積の結合法則から
(CA)B = A(BC) = E なので、BC が A の逆行列、CA が B の逆行列です。
逆行列が存在したので、A, B は正則ということになります。
No.1
- 回答日時:
ABが正則ならば
ABの行列式は0でない
|AB|≠0
だから
|AB|=|A||B|≠0
だから
AとBのどちらかが正則でないとすると
|A|=0.又は.|B|=0
となるから
|A||B|=0
となって|A||B|≠0に矛盾するから
AとBはいずれも正則でなければならない
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