1円玉，5円玉，10円玉，50円玉，100円玉，500円玉の６個のコインを斜面上の同一接点から平面運

1円玉，5円玉，10円玉，50円玉，100円玉，500円玉の６個のコインを斜面上の同一接点から平面運動として転落（滑り無し）させたときの着順を求める問題について質問です。
水平からの角度α、高さhの斜面で考え、斜面を転落する時間の式を求めたらt=(1/sinα)√(3h/g)みたいな式が出てきました。しかし、この式だとかかる時間には重さとかが関係しないので五円玉と五十円玉以外は同じ着順になってしまいます。あっているのか正直分からなくて困っています。

No.1 ベストアンサー 回答者： head1192 回答日時： 2020/01/04 19:57

抵抗を無視した場合、形状や重さによらず物体の落下速度は同じである。

これはガリレオが実験で検証したことである。

斜面にも同じことが当てはまる。
斜面を滑り落ちるとは、水平成分が加わった落下現象である。
水平要素を勘案する必要はあるものの、やはりガリレオの法則が適用できる。
つまり、抵抗を無視した場合かつ同一斜面の場合、重さや形状にかかわらず移動速度は同じなのである。

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/01/07 20:23

もし滑って落ちるだけなら

坂の長さL=h/sinα
坂を落ちる方向の重力の成分=mgsinα=ma (m:硬貨の質量、g:重力加速度、a:硬貨の加速度)
a=gsinα
L=(1/2)at^2 →t=√(2L/a)=(1/sinα)√(2h/g)

円盤形のコインが滑らず転がるなら
mgsinα=ma+T(T:静止摩擦力)
Ib=Tr(b:角加速度(I硬貨の慣性モーメント、r: 硬貨の半径)
I=(1/2)mr^2(r:硬貨の半径) ①
a=br

だから T=(1/2)mr^2・(a/r)・(1/r)=(1/2)ma → a=(2/3)gsinα→t=(1/sinα)√(3h/g)

なので質問の式は穴無しで滑らず転がる場合ですね。

穴あきだと、同じ質量に対して慣性モーメントが大きくなるので
#①の係数が(1/2)より大きくなるので
よりゆっくり転がります。
順位をきめるのは硬貨の半径にたいする穴の半径の比です。
質量は関係ありません。

No.8 回答者： chiha2525 回答日時： 2020/01/07 09:12

回転モーメントで良いと思います、慣性モーメントだと自由落下（斜面滑落など）で同じになるので。

他の回答をちゃんと読んでいませんが、回転モーメントは重いほうが大きく、これにより重いコインのほうが”遅く”落ちます。コインだと倒れるのでボールなどで考えたほうがイメージしやすいかもしれません。

穴が空いてるコインは、空いてないコインを考えて穴の分を引けば良いのですが、計算が面倒なので無視しても構わないと思います。

No.7 回答者： yos1912 回答日時： 2020/01/06 14:15

No.3です。

No.6様同様こちらにも大きな思い込みがあったようです。お詫びします。質問に書かれていた式に回転エネルギーが入っていないものと思いこんでいました。一つしかありませんでしたから。調べてきちんと計算すればよかったようです。前回書いたことは忘れてください。
　確かに半径が小さくなる分回転速度は上がりますが、半径が小さい分、慣性モーメントが小さくなることで効果が相殺されてしまうようです。結局は他の要素が見つからない以上は半径に依存しないというのが結論になります。

ところで、ごちゃごちゃいうてんとやってみたらどやねん。ということでやってみました。１０円玉と５００円記念硬貨で比べました。すぐに倒れたり、曲がって進んだりでいっしょにゴールさせる事はできず、結局あきらめました。答えは出ていません。正解は「時と場合による」だったりするかも知れませんね。

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2020/01/05 23:33

No.4 です。

「お礼」に書かれたことについて。

そこに書かれたリンク先のやり方でやってみると、確かに「重心位置」の並進運動の速度は穴なしコインの場合には同じになりますね。つまり
・穴のないコインは、すべて同じ速さで転がり落ちる。
・穴のあるコインは、穴のないコインと異なる速さで、かつ五十円玉、五円玉は異なる速さで転がり落ちる。
ということのようですね。
失礼しました。

＞私の最初の考え方はこのサイトP137〜P138に書かれている内容に近い気がします。

「最初の考え方」とは、「五円玉と五十円玉以外は同じ着順になってしまいます」ということですね？
それで合っているようです。

リンク先に書かれな内容でやってみれば、コインの重心の並進運動の運動方程式は、斜面上方向の静止摩擦力を F として
　M*d²x/dt² = Mg*sinθ - F　　　①

回転運動の運動方程式は、この F がトルク「F*a」となって
　F*a = I*d²φ/dt²　　　②
従って
　F = (I/a)*d²φ/dt²　　　　③

コインが滑ると話が厄介なので、コインは滑らずに「転がる」と考えます。ふつうは滑らずに転がるでしょう。
その場合には、「重心の速度=回転の周速度」「重心の加速度=回転の加周速度」になりますから
　d²x/dt² = a*d²φ/dt²　　　　④
ということになります。

④を③に代入し、さらにそれを①に代入すれば
　　M*d²x/dt² = Mg*sinθ - (I/a^2)*d²x/dt²
→　(M + I/a^2)*d²x/dt² = Mg*sinθ
→　d²x/dt² = Mg*sinθ/(M + I/a^2) = g*sinθ/[1 + I/(Ma^2)]

これより、コインを転がす重心の初速を 0 とすれば
　v(t) = {g*sinθ/[1 + I/(Ma^2)]}*t　　　　　　⑤
変位は、転がし始める位置を起点として
　x(t) = (1/2){g*sinθ/[1 + I/(Ma^2)]}*t^2　　　　⑥

穴のないコインの慣性モーメントは
　I = (1/2)Ma^2
穴のあるコインの慣性モーメントは、穴の径を b として
　I = (1/2)M(a^2 + b^2)
ですから、この2つのタイプ（穴あり、穴なし）では速度が異なることになります。

穴のないコインの場合には
　v(t) = (2/3)g*sinθ*t
　x(t) = (1/3)g*sinθ*t^2
となり、M や a には依存しません。

穴のあるコインの場合には
　v(t) = {g*sinθ/[1 + (1/2)(a^2 + b^2)/a^2]}*t
　x(t) = (1/2){g*sinθ/[1 + (1/2)(a^2 + b^2)/a^2]}*t^2
　　　= (1/2){g*sinθ/[3/2 + (1/2)(b/a)^2]}*t^2
となり、M には依存しませんが、a, b に依存しますので、五円玉と五十円玉では速度が異なります。

思い込みだけで回答を書いていました。失礼しました。

No.5 回答者： yos1912 回答日時： 2020/01/05 14:25

No.3です

回転モーメントと書きましたが、慣性モーメントが正しい言い方です。訂正します

感覚的には、円盤が回転しながら転がる場合、円盤の大きさは関係しないように見えます。
円盤に穴があることによって、同じ質量でも慣性モーメントが変わってきますから、転がる速度に影響を及ぼしそうです。この点でNo.2,4に書かれている意見より質問者様の考えていることの方が正しいような気がしていました。

No.2,4で書かれている意見は慣性モーメントが関係するということです。ここには穴があるような気がしていました。たとえば独楽(コマ)を転がり下ろす場合を考えてみます。横にして斜面をそのまま回転しながら下ろす場合より、同じ角度で２本の棒を渡しその上に独楽の軸を乗せて転がした場合の方がはるかに遅くなります。どちらも慣性モーメントは同じです。同じ速度にはなっていません。
どうして慣性モーメントが直接影響しないのか、何となく理解できましたので、書かせてもらいます。わかってもらえるか不安ですが..。円盤形のもので考えます。
No.4に書かれている通り慣性モーメントは半径の２乗に比例します。
円盤を回転させようとする力は、円盤と斜面との接点で発生します。これが回転に与える影響は、モーメントなので半径に比例します。従ってこの影響で発生する回転角加速度は半径に反比例(半径÷半径の２乗)します。その結果、一定時間後の角速度、回転角も半径に反比例します。円盤の移動速度や距離は同じ回転速度だと半径に比例するので、角速度や回転角に半径をかけたものが移動速度と距離になります。計算結果結果は一定値なので、移動速度や距離は単純に円盤の大きさには関係しないといえます。
No.4に書かれていることの問題点は、トルクを摩擦力と半径の積としたことです。摩擦力の大きさは状況によって変わってきますから、トルクの大きさを説明していないことになります。ちなみに、独楽の問題では、軸を細くしていくと、摩擦によって回転を与える限界を超えてしまう所が出てきます。こうなるとから滑りしてまわらなくなります。

No.3に書いたように、移動速度と回転角速度を関係させて、回転エネルギーを考慮して式を導き出せばなんとか時間を求めることも可能なのではないでしょうか。誰かがフォローしてくれるのを期待していたのですがそれもないようです。関連する式はWikiPediaの慣性モーメントの項目に全て書かれています。質問者様の力でじゅうぶん解ける問題だと信じています。がんばってください。

慣性モーメントは関係しないと書きたかったのですが、回転エネルギーが慣性モーメントと関係するので全く関係ないとは言い切れません。この点で文章の歯切れが悪くなっていることをご容赦ください。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2020/01/05 00:27

No.2 です。

#2 に「回転するなら慣性モーメントが関係する」と書きましたが、慣性モーメントについてはこんなところを参照ください。
http://www.buturigaku.net/main01/RigidBody/Rigid …
https://eman-physics.net/dynamics/angular.html
http://hooktail.sub.jp/mechanics/inertiaTable1/

半径 a、全体の質量が m の円板の、円の中心軸を回転軸とした慣性モーメントは
　I = (1/2)ma^2
ですから、半径が同じなら質量が大きいほど慣性モーメントが大きく（つまり回転しにくい）、同じ質量なら半径が大きいほど慣性モーメントが大きい（つまり回転しにくい）です。
また、五十円玉、五円玉は「中空」なので「中空円板」の慣性モーメントを使う必要があります。

コインを回転させようとするトルクは、コインの重心に働く重力の斜面方向の成分の反作用として、コインの外周に斜面上向きに働く摩擦力と半径の積であり、この「トルク」と「慣性モーメント」によって回転運動の角加速度が決まります。回転運動の「運動方程式」です。

そして、「コインの重心の斜面に沿った並進運動」と、この「重心（中心軸）周りの回転運動」がコインの運動になります。
その両方を同時に満足するように、コインは斜面を転がり落ちます。
なので、質量や半径や「中空」の有無などによって、コインはそれぞれ異なる運動をするはずです。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
全てのコインが異なる時間になるはずだと知識では知っているのですが、理解しきれていない状況です。
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/G …
私の最初の考え方はこのサイトP137〜P138に書かれている内容に近い気がします。しかし円板が滑らない条件については考えていませんでした。またM=m、a=r、初期速度と初期角速度はともに0として自分は計算しています。

（M＋I/a²）dx²/dt²＝Mgsinθという式が自分の場合も出てきて、円板の慣性モーメントI=Ma ²/2よりx=gsinθｔ²/3となりました。
それから鉛直距離hだけ移動したときのxをx(h)と置きました。
h/x(h)=sinθなのでx(h)=h/sinθとなり、x(h)の式をx=gsinθｔ²/3に代入してtを出しました。
ここでお聞きしたいのはこの様な計算方法では慣性モーメントを考えたことにはならないのでしょうか？
また、慣性モーメントの大小だけで着順は決定されるのでしょうか？
説明が上手くないので伝わりにくいと思いますが、よろしくお願いします。

お礼日時：2020/01/05 22:04

No.3 回答者： yos1912 回答日時： 2020/01/05 00:08

物理の計算方法は思い出せないので、こうではないかというヒントのようなものを書いてみます。

そのまま滑っていくのなら、確かに摩擦係数が同じなら全てが同着になります。立ったまま転がっていくとします。転がるには回転エネルギーが必要になってきます。この時に半径が小さいものは同じ距離を動くのに早く回らないといけません。この回転に必要なエネルギー分だけ落下速度が落ちるのではないですか。
回転モーメントについては、穴のなるなしで変わってくるのかどうかは覚えていません。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/01/04 22:32

＞五円玉と五十円玉以外は同じ着順になってしまいます。

どうして五円玉と五十円玉は他のコインと異なるのですか？
他のコインが同じなら、五円玉も五十円玉も同じだと思いますが？

摩擦のない斜面を滑り降りる、あるいは自由落下なら質量は関係ありませんが、斜面を転がすのであれば「回転しやすさ」つまり「慣性モーメント」が関係します。すべてのコインが異なる時間になるはずです。