群論の問題

f:Z×Z→S_10を準同型で
f(1,0) =(2 4)(3 5), f(0,1)= (1 7)(6 10 8 9)を満たす.
このとき, fの核を求めよ.

この答えがKerf= 2Z×4Zなのはわかるのですが, 解答をどう書けばいいのかがわかりません. 基本的な問題で申し訳ありませんが, 優しく教えてくれるとありがたいです….

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/05 17:51

f は、有理整数環 Z の加法群の直積から 10次対称群 S_10 への準同型ですね？

(2 4)(3 5) と (1 7)(6 10 8 9) が可換なので、
f(x,y) = ( f(1,0) )^x ( f(0,1) )^y は well-defined になります。
Im f は f(1,0) と f(0,1) が生成する S_10 の部分群であり、
f(1,0) が生成する部分群と f(0,1) が生成する部分群の直積です。
よって、(x,y) ∈ Ker f ⇔ ( f(1,0) )^x ( f(0,1) )^y = (1)
⇔ ( f(1,0) )^x = (1) かつ ( f(0,1) )^y = (1)　となり、
⇔ x は (f(1,0)の位数である)2 の倍数 かつ y は (f(0,1)の位数である)4 の倍数
であると判ります。
すなわち、Ker f = 2Z×4Z です。

こんな書き方でええんかなあ...

この回答へのお礼

ありがとうございました。参考にしてみます。

お礼日時：2020/01/07 09:38