m,kは正の定数とします。 mx"(t)=-kx(t)⇔d/dt(1/2mx'(t)²+1/2kx(

m,kは正の定数とします。
mx"(t)=-kx(t)⇔d/dt(1/2mx'(t)²+1/2kx(t)²)=0
は成り立ちますでしょうか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/06 19:23

左向きの矢印が成り立たない「x’=0」の場合ですが...

x’ = 0 となる t (その t を t_0 とする)が孤立している場合には、
t < t_0 と t > t_0 で mx'' = -kx が成り立ちますから
t → t_0 の極限をとれば t = t_0 でも mx'' = -kx が成り立つことが判ります。
矢印の右側の式が成り立つ区間では、x'' が存在して、しかも連続ですからね。

すると、問題になるのは「x’=0」が区間で成立する場合です。
そのような x(t) は定数関数だけですから、
ある区間で定数関数となるような、全体で２階微分可能な関数が
左向きの矢印の反例になります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2020/01/06 19:36

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/01/06 15:42

やってみればよいでしょう。

x(t), x'(t) は「t の関数」という意味ですね？　であればカッコは省略します。

d/dt[(1/2)mx'^2] = (1/2)m*d(x'^2)/dt = (1/2)m[2x'*x''] = mx''*x'

d/dt[(1/2)kx^2] = (1/2)k*d(x^2)/dt = (1/2)k[2x*x'] = kx'*x

よって、右側の式は

d/dt[(1/2)mx'^2] + d/dt[(1/2)kx^2]
= mx''*x' + kx'*x
= x' (mx'' + kx) = 0

従って、x'≠0 であれば
　mx'' = -kx
となりますが、「x'≠0」という条件が付くので
・右向きの矢印「→」は成立するが
・左向きの矢印「←」は「x'≠0」という条件付きでないと成立しない
ということになります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2020/01/06 19:36