m,kは正の定数とし,v(t)=x'(t)とします。 mx"(t)=-kx(t) x(0)=0 x(

m,kは正の定数とし,v(t)=x'(t)とします。
mx"(t)=-kx(t) x(0)=0 x(0)=v₀を考えます。

mv'=-kx
⇒mvv'=-kxx'
⇔d/dt(¹/₂mv²+¹/₂kx²)=0

初期条件より¹/₂mv²+¹/₂kx²=¹/₂mv₀².

mv'=-kx⇒mvv'=-kxx'なので
¹/₂mv²+¹/₂kx²=¹/₂mv₀²を満たす(v,x)の値を
必ずしもx(t),v(t)がとるわけではないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• ¹/₂mv²+¹/₂kx²=¹/₂mv₀²に(x,v)=(X,V)を代入すると等号が成立するがx(t)=X,v(t)=Vを満たすようなtが存在しない場合は無いのかという事です。

    補足日時：2020/01/07 01:40

• tを実数全体とすると,¹/₂mv²+¹/₂kx²=¹/₂mv₀²を満たすならばtが必ず存在すると思うのですがなぜなのでしょうか？

    補足日時：2020/01/07 11:38

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2020/01/07 09:41

No.2 です。

「補足」に書かれたことについて。

＞¹/₂mv²+¹/₂kx²=¹/₂mv₀²に(x,v)=(X,V)を代入すると等号が成立するが

ここでいう
　(x, v)=(X, V)
とは、「(x(t), v(t) が特定の値 X, V をとるとき」という意味ですね？

これが
　x(t1) = X
　v(t2) = V
　t1 ≠ t2
だとしたら、

＞x(t)=X,v(t)=Vを満たすようなtが存在しない場合

があり得るということです。

「¹/₂mv²+¹/₂kx²=¹/₂mv₀²　　　①」という式が
　x(0) = 0
　v(0) = v0
のときに成り立つという前提であれば、最低限 t=0 に対しては①は成り立つ、①を満たす t=0 が存在するということです。

この条件以外（ t≠0 ）で①を満足する t が存在しないことは十分にあり得ます。

①を
　(1/2)mv^2 + (1/2)kx^2 = A　　　②
（Ａは任意の定数）
と書いたら、「系の運動エネルギー Ek=(1/2)mv^2 と弾性エネルギー Ep=(1/2)kx^2 の和が E=Ek + Ep」という系では
　E ≠ A
であれば「解なし」になります。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/01/07 02:13

そういう意味なら, 「問題設定によってはありえる」ね.

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/01/07 00:48

質問の意味、趣旨がよく分かりません。

＞初期条件より¹/₂mv²+¹/₂kx²=¹/₂mv₀²

これはすべての v(t), x(t) に対して成り立つのではなく、あくまで t=0 のときに
　(1/2)mv(0)^2 + (1/2)kx(0) = (1/2)m(v0)^2
になるというだけのことです。左辺、右辺とも定数項で成り立っている。

＞mv'=-kx⇒mvv'=-kxx'なので
＞¹/₂mv²+¹/₂kx²=¹/₂mv₀²を満たす(v,x)の値を
＞必ずしもx(t),v(t)がとるわけではないでしょうか？

この意味がよく分からないが、上に書いたように「t の関数としての v(t), x(t)」つまり「関数、変数」と、「t=0 のときの v(0), x(0)」つまり「定数」を混同していませんか？

(1/2)mv(t)^2 + (1/2)kx(t) = (1/2)m(v0)^2
を満たす１つの特別な条件が (v(0), x(0)) = (v0, 0) ということですが、t=0 以外に (v(t), x(t)) = (v0, 0) となる瞬間があるかどうかは、与えられた条件だけでは何とも言えません。
ましてや、よほどの特殊条件下でなければ、これが恒等的に成り立つことはないでしょう。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/01/06 23:40

日本語が微妙におかしい気がするので疑問点がわからんのだけど,

(1/2)mv^2 + (1/2)kx^2 を t で微分して 0 になる
ってことは, (1/2)mv^2 + (1/2)kx^2 自体は (t とは無関係な) 定数だってことでしょ?

であるなら, どんな t に対しても (1/2)mv^2 + (1/2)kx^2 が変化しないように x(t) と v(t) が関係づけられていると思うのが自然だと思うなぁ.