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m,kは正の定数とし,v(t)=x'(t)とします。
mx"(t)=-kx(t) x(0)=0 x(0)=v₀を考えます。

mv'=-kx
⇒mvv'=-kxx'
⇔d/dt(¹/₂mv²+¹/₂kx²)=0

初期条件より¹/₂mv²+¹/₂kx²=¹/₂mv₀².

mv'=-kx⇒mvv'=-kxx'なので
¹/₂mv²+¹/₂kx²=¹/₂mv₀²を満たす(v,x)の値を
必ずしもx(t),v(t)がとるわけではないでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • ¹/₂mv²+¹/₂kx²=¹/₂mv₀²に(x,v)=(X,V)を代入すると等号が成立するがx(t)=X,v(t)=Vを満たすようなtが存在しない場合は無いのかという事です。

      補足日時:2020/01/07 01:40
  • tを実数全体とすると,¹/₂mv²+¹/₂kx²=¹/₂mv₀²を満たすならばtが必ず存在すると思うのですがなぜなのでしょうか?

      補足日時:2020/01/07 11:38

A 回答 (4件)

No.2 です。

「補足」に書かれたことについて。

>¹/₂mv²+¹/₂kx²=¹/₂mv₀²に(x,v)=(X,V)を代入すると等号が成立するが

ここでいう
 (x, v)=(X, V)
とは、「(x(t), v(t) が特定の値 X, V をとるとき」という意味ですね?

これが
 x(t1) = X
 v(t2) = V
 t1 ≠ t2
だとしたら、

>x(t)=X,v(t)=Vを満たすようなtが存在しない場合

があり得るということです。

「¹/₂mv²+¹/₂kx²=¹/₂mv₀²   ①」という式が
 x(0) = 0
 v(0) = v0
のときに成り立つという前提であれば、最低限 t=0 に対しては①は成り立つ、①を満たす t=0 が存在するということです。

この条件以外( t≠0 )で①を満足する t が存在しないことは十分にあり得ます。

①を
 (1/2)mv^2 + (1/2)kx^2 = A   ②
(Aは任意の定数)
と書いたら、「系の運動エネルギー Ek=(1/2)mv^2 と弾性エネルギー Ep=(1/2)kx^2 の和が E=Ek + Ep」という系では
 E ≠ A
であれば「解なし」になります。
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そういう意味なら, 「問題設定によってはありえる」ね.

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質問の意味、趣旨がよく分かりません。



>初期条件より¹/₂mv²+¹/₂kx²=¹/₂mv₀²

これはすべての v(t), x(t) に対して成り立つのではなく、あくまで t=0 のときに
 (1/2)mv(0)^2 + (1/2)kx(0) = (1/2)m(v0)^2
になるというだけのことです。左辺、右辺とも定数項で成り立っている。

>mv'=-kx⇒mvv'=-kxx'なので
>¹/₂mv²+¹/₂kx²=¹/₂mv₀²を満たす(v,x)の値を
>必ずしもx(t),v(t)がとるわけではないでしょうか?

この意味がよく分からないが、上に書いたように「t の関数としての v(t), x(t)」つまり「関数、変数」と、「t=0 のときの v(0), x(0)」つまり「定数」を混同していませんか?

(1/2)mv(t)^2 + (1/2)kx(t) = (1/2)m(v0)^2
を満たす1つの特別な条件が (v(0), x(0)) = (v0, 0) ということですが、t=0 以外に (v(t), x(t)) = (v0, 0) となる瞬間があるかどうかは、与えられた条件だけでは何とも言えません。
ましてや、よほどの特殊条件下でなければ、これが恒等的に成り立つことはないでしょう。
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日本語が微妙におかしい気がするので疑問点がわからんのだけど,


(1/2)mv^2 + (1/2)kx^2 を t で微分して 0 になる
ってことは, (1/2)mv^2 + (1/2)kx^2 自体は (t とは無関係な) 定数だってことでしょ?

であるなら, どんな t に対しても (1/2)mv^2 + (1/2)kx^2 が変化しないように x(t) と v(t) が関係づけられていると思うのが自然だと思うなぁ.
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