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オイラーの公式
e^ix=cosx+isinxを高校数学の範囲内で説明する方法を考えています
具体的にはテイラー展開を行わずこの式を導出したいです
いい方法を知ってる方がいましたらぜひ教えてください

A 回答 (2件)

lim (n→∞) (1+1/n)^n=e


lim (n→∞) (1+iθ/n)^n=lim (n→∞) (1+1/(n/iθ)^{(n/iθ)・iθ}=e^iθ……①

lim (n→∞) cos(θ/n)=1
lim (n→∞) sin(θ/n)/(θ/n)=1 より、lim (n→∞) sin(θ/n)=lim (n→∞) (θ/n)
これより、
lim (n→∞) (1+iθ/n)^n=lim (n→∞) {cos(θ/n)+isin(θ/n)}^n=cosθ+isinθ……②

①、②より、e^iθ=cosθ+isinθ
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f(x) = e^(ix) - (cos x) - i(sin x) と置くと、


(d/dx)f(x) = i e^(ix) + i(sin x) - i(cos x) = i f(x).
この微分方程式をとくと f(x) = f(0) e^(ix) となるが、
f(0) = e^0 - (cos 0) - i(sin 0) = 1 - 1 - 0 = 0 より
f(x) = 0.
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