ハ、ヒの部分でm>7/4を求める時に0くa≦1/3とa≧1/3で分けて考えるのはなぜですか？なぜその

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質問者：アップザック
質問日時：2020/01/11 22:24
回答数：2件

ハ、ヒの部分でm>7/4を求める時に0くa≦1/3とa≧1/3で分けて考えるのはなぜですか？なぜその範囲設定で考えるのですか？

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回答 (2件)

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No.2ベストアンサー

回答者： yhr2
回答日時：2020/01/12 01:52

これで問題の全文が示されているのかな？

だったら、

　y = (1/3)x^2 + 2ax - a + 2
　　= (1/3)(x + 3a)^2 - 3a^2 - a + 2　　　　①

なので、頂点の座標は (-3a, -3a^2 - a + 2)

(3) もし x の定義域 -1 ≦ x ≦ 1 の中に頂点があれば、頂点で「最小」になる。
また、頂点の x 座標が -1 よりも小さければ、①は -1 ≦ x ≦ 1 の範囲で「単調増加」になるので、x=-1 で最小になる。
逆に、頂点の x 座標が 1 よりも大きければ、①は -1 ≦ x ≦ 1 の範囲で「単調減少」になるので、x=1 で最小になる。

問題では、「a は正の定数」となっているので、頂点の x 座標「-3a」は負であり、従って
(a) 頂点の x 座標が -1 ≦ x < 0
または
(b) 頂点の x 座標が x < -1
のどちらかということになります。

(a) のときには「頂点 x=-3a」で最小、(b) のときには「端点 x=-1」で最小ということになります。
この2つを場合分けして解く必要があります。

(a) つまり
　-1 ≦ -3a < 0
→　0 < a ≦ 1/3　　　②
のときには、①は x=-3a で最小になるので
　m = f(-3a) = 3a^2 - 6a^2 - a + 2 = -3a^2 - a + 2 > 7/4
より
　3a^2 + a - 1/4 < 0
→　12a^2 + 4a - 1 < 0
→　(2a + 1)(6a - 1) < 0
よって
　-1/2 < a < 1/6　　　　③
②、③が同時に成立するのは
　0 < a < 1/6　　　　④

(b) つまり
　-3a < -1
→　1/3 < a　　　⑤
のときには、①は x=-1 で最小になるので
　m = f(-1) = 1/3 - 2a - a + 2 = 7/3 - 3a > 7/4
より
　3a < 7/12
→　a < 7/36　　　　⑥
⑤、⑥が同時に成立する a は存在しない。

従って、m > 7/4　となる a の範囲は、④の
　0 < a < 1/6
となる。

この問題の場合には、(b) の範囲が存在しませんでしたが、もし (b) の範囲があれば、求める a の範囲は (a) および (b) ということになります。