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数学の重積分についてです。

球面x^2+y^2+z^2=1と(x^2+y^2)^2=x^2-y^2が定める柱面の内部に囲まれた体積を極座標で求めよ。

という問題で、(x^2+y^2)^2=x^2-y^2がレムニスケート曲線でどのような曲線なのかは、わかるのですが、積分範囲の定め方などがわからないので、式だけでもいいので教えてください。

質問者からの補足コメント

  • r²=cos2θなのでrの積分範囲は0≦r≦√ cos2θにならないのですか?

      補足日時:2020/01/13 18:07

A 回答 (2件)

柱面の曲線はxy平面の極座標で r⁴=r²cos2θ


(1) θの範囲、|θ|≦π/4, θ=3π/4~5π/4 で、r²=cos2θ。
(2) (1)以外の θで r=0

この範囲は対称性から、θ=0~π/4 の範囲の体積を求め8倍すればよい。
この r,θに対して、球面は z=√{1-(x²+y²)}=√(1-r²) となる。したがって、体積Vは
V=8∫[θ=0→π/4]∫[r=0→cos2θ] √(1-r²) (dr rdθ)・・・・r²=uと変換して
=8∫[θ=0→π/4]∫[u=0→cos²2θ] (1/2)√(1-u) (dudθ)
=8∫[θ=0→π/4] { (1/2)[(-2/3)(1-u)³/²] [u=cos²2θ,0] } dθ

=8∫[θ=0→π/4] (1/3){1-(1-cos²2θ)³/²} dθ =(8/3)∫[θ=0→π/4] {1-(sin²2θ)³/²} dθ
=(8/3) {π/4 - ∫[θ=0→π/4] (sin2θ)³ dθ }・・・・2θ=v と変換して
=(8/3) {π/4 - (1/2)∫[v=0→π/2] (sin v)³ dv }
=2π/3 - (4/3)∫[v=0→π/2] (sin v)³ dv・・・・積分は下記を使用
=2π/3 - (4/3)(2/3)
=2π/3 - 8/9


∫[v=0→π/2] (sin v)³ dv=∫[v=0→π/2] (1-cos² v)sin v dv・・・・・ cos v=w と変換して
=∫[w=1→0] (1-w²)(-dw)=[w-w³/3][w=1,0]=1-1/3=2/3
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2020/01/14 21:19

失礼しました。

あやまりました。
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