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f(z)がz=z(0)でm位(mは正の整数)の極をもつとき、

z=z(0)の近くでは(z-z(0))^mf(z)=a(-m)+a(-m+1)(z-z(0))+…+a(-1)(z-z(0))^(m-1)+(z-z(0))^mh(z)
となり、lim(z→z(0)){(z-z(0))^mf(z)}=a(-1)(≠0)が成り立つ。
次に上式の両辺を微分て、z→z(0)とおけばlim(z→z(0))d(z-z(0))^mf(z)/dz=a(-m+1)となる。
同様にして(m-1)回微分してz→z(0)とおけば、lim(z→z(0))d^(m-1)(z-z(0))^mf(z)/dz^(m-1)=(m-1)!a(-1)となる。

のなかのlim(z→z(0)){(z-z(0))^mf(z)}=a(-1)、z→z(0)とおけばlim(z→z(0))d(z-z(0))^mf(z)/dz=a(-m+1)、lim(z→z(0))d^(m-1)(z-z(0))^mf(z)/dz^(m-1)=(m-1)!a(-1)の計算の部分が納得できません。
もう少し細かく説明して下さい。

A 回答 (2件)

何がどう納得できないのかよくわかりませんが



z(0)はめんどくさいので b と書くことにして

b に m位の留数が有るなら
f(z)(z-b)^m =Σ[k=0~∞]a_{k-m}(z-b)^k
とローラン展開がテイラー展開形にできることはOK?

左辺をテイラー展開して 係数比較すれば、k=m-1 の項の比較で
a_{-1}=(1/(m-1)!)・d^(m-1)f(b)(z-b)^m/dz^(m-1)

外してますかね?
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>lim(z→z(0)){(z-z(0))^mf(z)}=a(-1)


これは
lim(z→z(0)){(z-z(0))^mf(z)}=a(-m)
ですね。(z-z(0))^m*f(z)=a(-m)+a(-m+1)(z-z(0))+…+a(-1)(z-z(0))^(m-1)+(z-z(0))^m*h(z)の式にz=z(0)を代入すればよい。
右辺は1項目以外の項は全て0になります。

あとは
(z-z(0))^m*f(z)=a(-m)+a(-m+1)(z-z(0))+…+a(-1)(z-z(0))^(m-1)+(z-z(0))^m*h(z)
の両辺をzで微分してみればよい。
d{(z-z(0))^m*f(z)}/dz=a(-m+1)+…+(m-1)a(-1)(z-z(0))^(m-2)+(z-z(0))^(m-1){m*h(z)+(z-z(0))h'(z)}
これもz=z(0)を代入すると1項目以外は0になります。

これを繰り返していくとa(-1)の項の係数にm-1,m-2.m-3と(z-z(0))の指数がかけられていき、m-1回微分するとa(-1)の項の係数は(m-1)!になります。
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