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余弦定理の問題です
△ABCにおいて、AB=8,AC=7,B=60°のとき、角Cが鋭角の時と鈍かのときのBCを求める問題で、鋭角のとき5、鈍感のとき3とおったのですがなぜですか?

A 回答 (4件)

図で、AB=8、∠ABC=60°として、AC=7となる点を求めると、


AC1=7とAC2=7という二つの点C1とC2が存在する。
∠BC1Aは鋭角で、∠BC2Aは鈍角である。
BCを求めるには、余弦法則b²=a²+c²-2ac cosBを使う。
a=BCは未知数、b=AC=7、c=AB=8、 cosB= cos60°=1/2であるから
b²=a²+c²-2ac cosB。7²=a²+8²-8a、a²-8a+15=0 より
a=3または5となる。
「余弦定理の問題です △ABCにおいて、A」の回答画像4
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余弦定理に 当てはめるだけで BC の長さは 求められますよね。


鋭角・鈍角の 区別が分からないと云う事ですか。
△ABC の図を書いてみて下さい。
∠B=60° ですから、∠C=90° とすれば 1:2:√3 の 直角三角形になりますよね。
この場合は AB=8 とすれば AC=4√3 で BC=4 となります。
4√3<7 ですから 求める BC は 4±a の2点となる筈ですね。
つまり 4+a の点Cが 鋭角、4-a の点Cが 鈍角 となる事が分かると思います。
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AからBCにおろした垂線の長さはABsin60°=8×√3/2=4√3で


これより7のほうがわずか大きいからA中心半径7の円は直線BCと2点で交わる。
この2点のうちBに近いほうをCにすれば角Cは鈍角、Bから遠いほうをC
にすれば角Cは鋭角になる。
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AB=8, AC=7, B=60°となっているので、余弦定理でBCの長さは求められる。



AC^2=AB^2 + BC^2 - 2×AB×BC×cosB
7^2=8^2 + BC^2 - 2×8×BC×cos60°
49=64 + BC^2 - 8BC
BC^2 - 8BC + 15=0
(BC-3)(BC-5)=0
BC=3, 5

後は角Cでの余弦定理でcosCが正ならば鋭角、負ならば鈍角であることが導ける。

AB^2=BC^2 + AC^2 - 2×BC×AC×cosC
8^2=BC^2 + 7^2 - 2×BC×7×cosC
64=BC^2 + 49 - 14BCcosC
14BCcosC=BC^2 - 15
cosC=(BC^2 - 15)/14BC

BC=3のとき:
cosC=(3^2 - 15)/(14×3)=-6/42=-1/7<0なので鈍角。

BC=5のとき:
cosC=(5^2 - 15)/(14×5)=10/70=1/7>0なので鋭角。
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