環論の問題

1. 環ZのイデアルIに対し、I=(n)となるn∈Z が存在することを示せ
2.(n)がZの素イデアルとなるようなn∈Zを全て求めよ
3.(n)が極大イデアルとなるよなn∈Zを全て求めよ

以上の問題がわかりません。どうか教えてください！

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/01/19 20:35

1.

整数環ZのイデアルIに対して,
I=(0)の時はI=(0),n=0
I≠(0)の時φ≠{|k|;0≠k∈I}⊂N=(全自然数)だから
n=min{|k|;0≠k∈I}が存在する
n∈{|k|;0≠k∈I}だから
(n)⊂I
I∋kをnで割った商をq,余りをr(0≦r<n)とすると
k=nq+r
k∈I,-nq∈Iだから
r=k-nq∈I
r≠0とすると
0<r<nだから
r∈{|k|;0≠k∈I}だから
r≧n=min{|k|;0≠k∈I}に矛盾するから
r=0だから
k=nqだから
k∈(n)だから
I⊂(n)
↓これと(n)⊂Iから
∴
I=(n)となるn∈Zが存在する

2
ab∈(0)とすると
ab=0だから
a=0またはb=0だから
a∈(0)またはb∈(0)だから
(0)は素イデアル
pを素数とする
a,b∈Z
ab∈(p)とすると
ab=kpとなる整数kがある
素因数分解の一意性から
aの素因数分解の中の素数
または
bの素因数分解の中の素数
のどちらかにpがあるから
aまたはbがpの倍数となるから
a∈(p)またはb∈(p)だから
(p)は素イデアル

(n)を素イデアルとする
(n)≠(0)とするとn≠0
(n)はイデアルだからn≠1,n≠-1
nの素因数分解の中の1つの素数をpとすると
n=kpとなる整数kがあるから
n∈(p)だから
(n)⊂(p)
kp=n∈(n)で(n)は素イデアルだから
k∈(n)またはp∈(n)
k∈(n)を仮定すると
k=jnとなる整数jがある
k=jkpだから
n≠0だからk≠0だから
1=jp
pが1の約数
となってpが素数である事に矛盾するから
k∈(n)でないから
p∈(n)だから
(p)⊂(n)
↓これと(n)⊂(p)から
(n)=(p)
だから
nは素数
∴
{n∈Z|(n)がZの素イデアル}={n∈Z|n=0又はnは素数}

3.
(n)を極大イデアルとする
a,b∈Z
ab∈(n)とする
a∈(n)でない
かつ
b∈(n)でない
と仮定すると
ac=1mod(n)
bd=1mod(n)
となる整数c,dがある
abcd-1=(ac-1)bd+bd-1=0mod(n)
abcd=1mod(n)
となって
ab∈(n)→abcd=0mod(n)に矛盾するから
a∈(n)またはb∈(n)だから
(n)は素イデアルだから
2から
n=0またはnは素数
n=0の時(0)はZの極大イデアルではないから
n≠0だから
nは素数

pを素数とする
(p)⊂(n)をイデアルとすると
p∈(n)だから
p=knとなる整数kがある
pは素数だから
k=±1又はn=±1となるが
(n)はイデアルだからn≠±1だから
k=±1
p=±n
だから
(p)=(n)
nは素数になる
∴
{n∈Z|(n)がZの極大イデアル}={n∈Z|nは素数}

この回答へのお礼

丁寧に解答を書いていただきありがとうございます！

お礼日時：2020/01/21 09:14