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ローラン展開の問題です。答えの書き方について教えてください。

「sin(2z)/(z-π)^2  を特異点であるz=πについてローラン展開せよ。」という問題です。
これを解くと、
sin(2z)=sin2(z-π)=Σ(n=0~∞) {(-1)^n * 2^(2n+1) * (z-π)^(2n+1)}/(2n+1)! より、
【∵sinzのマクローリン展開=Σ(n=0~∞) {(-1)^n * z^(2n+1)}/(2n+1)!】
(与式)=Σ(n=0~∞) {(-1)^n * 2^(2n+1) * (z-π)^(2n-1)}/(2n+1)! となりました。...①

ローラン展開した最後の答えは一般的に書くと
Σ(k=A~B){C * (z-α)^k}
というように、(z-α)の右肩はk乗になるように思います。
そこで一般形にするために①で、2n-1=kとしておくとΣ(k=-1~∞)とはなるものの、①では(-1)^nだった部分が(-1)^{(k+1)/2}となり、k=0,2,4...の時はiが出てきてしまいます。①でiは出てこず、また階乗の部分もずれているため、これは間違っていると考えました。
2n-1=2kとしておくと他の部分は上手くいくものの、Σ(k=-1/2~∞)となってしまいます。Σを整数以外で始めるのはおかしいので、これも間違っていると考えました。
今回の問題でローラン展開の答えを一般形のように書くにはどうしたら良いのでしょうか。

A 回答 (2件)

No.1 にほぼ同意だけど...


z = π が 1 位の極だから、①を
(与式) = Σ(n=0〜∞) {(-1)^n * 2^(2n+1) * (z-π)^(2n-1)}/(2n+1)!
= 2/(z-π) + Σ(n=1〜∞) {(-1)^n * 2^(2n+1) * (z-π)^(2n-1)}/(2n+1)!
とか書いてみると、お互い優しい気持ちになるかもしれない。
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例えば [1 - (-1)^n]/2 ってやれば n が偶数のところは無視できるけど....



そんなに意固地にならんでも, ① のままでいいと思うけどな~. ま, この辺はあなたがどう習ってるかによる.
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