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なぜbnをこのように置くのですか

「なぜbnをこのように置くのですか」の質問画像

A 回答 (2件)

a[n+1]=(ra[n]+s)/(pa[n]+q) のような分数型の漸化式ではan,an+1をxに置き換えた


特性方程式 x=(rx+s)/(px+q)を考えます
画像の問題では
r=0,s=4,p=-9,q=12です
よって特性方程式は、x=4/(-9x+12)⇔-9x²+12x-4=0⇔(3x-2)²=0
ゆえに特性方程式は重解x=2/3を持ちます
特性方程式が重解αのときの置き換えは基本的に
b[n]=1/(a[n]-α)とすることになります・・・詳細はテキストなどを見てください
α=2/3として
b[n]=1/(a[n]-2/3)=6/(6a[n]-4)です
このような置き換えをすべきと分かったので漸化式を変形します
a[n+1]=4/(-9a[n]+12)より
6a[n+1]=24/(-9a[n]+12)
6a[n+1]-4={24/(-9a[n]+12)}-4
={24-4(-9a[n]+12)/(-9a[n]+12)}
=(36a[n]-24)/(-9a[n]+12)

逆数にして
1/(6a[n+1]-4)
=(-9a[n]+12)/(36a[n]-24)
=-3(3a[n]-4)/{6(6a[n]-4)}
=(-1/2){(3a[n]-4)/(6a[n]-4)}
=(-1/2){(6a[n]-8)/2(6a[n]-4)}
=(-1/2){(6a[n]-4-4)/2(6a[n]-4)}
=(-1/2){-4/2(6a[n]-4)+(1/2)}
=1/(6a[n]-4)-(1/4)…①

ですから、両辺6倍して
6/(6a[n+1]-4)=6/(6a[n]-4)-(3/2)より
bn=6/(6a[n]-4)という置き換えで
b[n+1]=b[n]-3/2とできます

ただ①をよく見ると両辺6倍するまでもなく
bn=1/(6a[n]-4)でも可能だということがわかりますから、本問題では画像のような置き換えを指示しています。
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b(n) を その様に 置くと b(n+1) は どうなりますか と云う問題でしょ。

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